왜 mergesort O (log n)입니까?

Mergesort는 나누기와 정복 알고리즘이며 입력이 반복적으로 반으로 줄어듦에 따라 O (log n)입니다. 그러나 입력이 각 루프에서 절반이 되더라도 각 절반의 배열에서 스와핑을 수행하기 위해 각 입력 항목을 반복해야하므로 O (n)이 아니어야합니까? 이것은 본질적으로 무의식적으로 O (n)입니다. 가능한 경우 예제를 제공하고 작업을 올바르게 계산하는 방법을 설명하십시오! 아직 아무것도 코딩하지 않았지만 온라인에서 알고리즘을 살펴 보았습니다. 또한 wikipedia에서 mergesort의 작동 방식을 시각적으로 보여주기 위해 사용하는 GIF를 첨부했습니다.

O (log (n))이 아니라 O (n * log (n))입니다. 정확하게 추측 했으므로 전체 입력을 반복해야하며 O (log (n)) 번 발생해야합니다 (입력은 O (log (n)) 번만 절반 만 가능). log (n) 번 반복 된 n 개의 항목은 O (n log (n))를 제공합니다.

비교 정렬이 이보다 더 빠르게 작동 할 수 없음이 입증되었습니다. 기수 정렬과 같은 입력의 특수 속성에 의존하는 정렬 만이 복잡성을 극복 할 수 있습니다. mergesort의 상수 요소는 일반적으로 그리 크지 않지만 복잡성이 더 나쁜 알고리즘은 종종 시간이 덜 걸릴 수 있습니다.

병합 정렬의 복잡성은 O (nlogn) 및 NOT O (logn)입니다.

병합 정렬은 나누기 및 정복 알고리즘입니다. 3 단계로 생각하십시오.

1. 나누기 단계는 각 하위 배열의 중간 점을 계산합니다. 이 단계는 각각 O (1) 시간이 걸립니다.
2. 정복 단계는 n / 2 개의 요소 (각 n 개)의 두 개의 하위 배열을 재귀 적으로 정렬합니다.
3. 병합 단계는 O (n) 시간이 걸리는 n 개의 요소를 병합합니다.

이제 1 단계와 3 단계, 즉 O (1)과 O (n) 사이에서 O (n)이 더 높습니다. 1 단계와 3 단계는 총 O (n) 시간이 걸립니다. 상수에 대한 cn이라고 가정하십시오. c.

이 단계는 몇 번이나 실행됩니까?

이를 위해 아래의 트리를 살펴보십시오-각 레벨마다 위에서 아래로 각각의 레벨 2는 길이가 n / 2 인 2 개의 서브 어레이에서 merge 메소드를 호출합니다. 여기서 복잡성은 2 * (cn / 2) = cn 레벨 3 호출 길이가 각각 n / 4 인 4 개의 서브 어레이에 대한 병합 메소드입니다. 여기서 복잡성은 4 * (cn / 4) = cn 등입니다 ...

이제이 트리의 높이는 주어진 n에 대해 (로그 + 1)입니다. 따라서 전체 복잡성은 (logn + 1) * (cn)입니다. 병합 정렬 알고리즘의 경우 O (nlogn)입니다.

이미지 크레디트 : Khan Academy

병합 정렬은 재귀 알고리즘이며 시간 복잡도는 다음과 같은 반복 관계로 표현할 수 있습니다.

T (n) = 2T (n / 2) + ɵ (n)

위의 반복은 반복 트리 방법 또는 마스터 방법을 사용하여 해결할 수 있습니다. 마스터 방법의 II에 해당하고 재귀의 해가 ɵ (n log n) 인 경우에 해당합니다.

병합 정렬은 항상 배열을 두 반으로 나누고 선형 시간을 사용하여 두 반쪽을 병합하므로 병합 정렬의 시간 복잡도는 3 가지 경우 (최악, 평균 및 최고)에서 all (nLogn)입니다.

입력 배열을 두 반으로 나누고 두 반쪽을 호출 한 다음 정렬 된 두 반쪽을 병합합니다. merg () 함수는 두 개의 반쪽을 병합하는 데 사용됩니다. 병합 (arr, l, m, r)은 arr [l..m] 및 arr [m + 1..r]이 정렬되어 정렬 된 두 하위 배열을 하나로 병합한다고 가정하는 핵심 프로세스입니다. 자세한 내용은 다음 C 구현을 참조하십시오.

MergeSort(arr[], l,  r)
If r > l
     1. Find the middle point to divide the array into two halves:  
             middle m = (l+r)/2
     2. Call mergeSort for first half:   
             Call mergeSort(arr, l, m)
     3. Call mergeSort for second half:
             Call mergeSort(arr, m+1, r)
     4. Merge the two halves sorted in step 2 and 3:
             Call merge(arr, l, m, r)

다이어그램을 자세히 살펴보면 크기가 1이 될 때까지 배열이 두 개 반으로 재귀 적으로 나뉘어져 있음을 알 수 있습니다. 크기가 1이되면 병합 프로세스가 작동하고 전체 배열이 될 때까지 배열 병합을 다시 시작합니다. 합병.

비교 기반 정렬 알고리즘에는 하한 𝞨(n*log(n))이 있으므로 비교 기반 정렬 알고리즘을 사용할 수 없습니다.O(log(n)) 시간이 복잡한 .

그건 그렇고, 병합 정렬은 O(n*log(n))입니다. 이런 식으로 생각하십시오.

[ a1,a2,         a3,a4,         a5,a6,          a7,a8     .... an-3,an-2,     an-1, an ] 
   \ /            \  /           \ /             \  /            \  /            \  /    
    a1'            a3'            a5'             a7'            an-3'           an-1'    
      \            /                \             /                 \             /
            a1''                          a5''                       an-3''
             \                             /                         /
                          a1'''                                     /
                           \
                                              a1''''

이진 트리가 반대로 보입니다.

입력 크기를 n .

각각 a_n은 요소 목록을 나타냅니다. 첫 번째 줄 a_n에는 하나의 요소 만 있습니다.

각 수준에서 평균 합병 비용의 합은 평균입니다 n(비용이 더 낮은 경우가 있습니다 [1]). 그리고 나무의 높이는입니다 log_2(n).

따라서 병합 정렬의 시간 복잡성은입니다 O(n*log_2(n)).

[1] 이미 정렬 된 목록에서 정렬하는 경우이를 최상의 사례라고합니다. 비용이으로 감소했습니다 n/2 + n/4 + n/8 + .... + 1 = 2^log_2(n) -1 ~ O(n). (길이 n가 2의 거듭 제곱 이라고 가정 )

정렬은 컴퓨터 과학의 NP-Complete 문제입니다 (비 다항식 문제). 이것은 수학적으로 입증되지 않으면 요소 목록을 정렬 할 때 O (n log n) 아래로 갈 수 없다는 것을 의미합니다.

Wikipedia에서이 기사를 확인하십시오 ( https://en.wikipedia.org/wiki/P_versus_NP_problem )

기본적으로 지금까지 아무도 그것을 증명하지 못했습니다 (P == NP). 그렇게하면 먼저 백만장자가되고, 두 번째로 당신은 사용 된 모든 술집 / 개인 주요 보안 메커니즘을 깰 수 있기 때문에 제 3 차 세계 대전을 시작합니다. 요즘 어디서나 :)