이중 재귀 함수의 런타임을 어떻게 결정합니까?

임의로 이중 재귀 함수가 주어지면 런타임을 어떻게 계산합니까?

예 (의사 코드) :

int a(int x){
  if (x < = 0)
    return 1010;
  else
    return b(x-1) + a(x-1);
}
int b(int y){
  if (y <= -5)
    return -2;
  else
    return b(a(y-1));
}

아니면 그 라인을 따라 뭔가.

이와 같은 것을 결정하기 위해 어떤 방법을 사용해야합니까?

계속해서 기능을 변경하십시오. 그러나 개종하지 않고 영원히 실행될 것을 계속 선택하십시오.

재귀는 복잡하고 빠릅니다. 제안 된 이중 재귀 함수를 분석하는 첫 번째 단계는 일부 샘플 값에서이를 추적하여 그 기능을 확인하는 것입니다. 계산이 무한 루프 상태가되면 함수가 제대로 정의되지 않은 것입니다. 계산이 더 큰 숫자 (매우 쉽게 발생 함)를 계속 유지하는 나선 모양으로 바뀌면 제대로 정의되지 않은 것입니다.

그것을 통해 답을 얻으면 대답 사이에 어떤 패턴이나 재발 관계를 생각해보십시오. 일단 가지고 나면 런타임을 알아낼 수 있습니다. 그것을 이해하는 것은 매우 복잡 할 수 있지만, 우리는 많은 경우에 답을 알아낼 수 있는 마스터 정리 와 같은 결과를 가지고 있습니다.

단일 재귀로도 계산 방법을 모르는 런타임 함수를 쉽게 만들 수 있습니다. 예를 들어 다음을 고려하십시오.

def recursive (n):
    if 0 == n%2:
        return 1 + recursive(n/2)
    elif 1 == n:
        return 0
    else:
        return recursive(3*n + 1)

는 현재 알 수없는 이 기능이 항상 실행이 무엇인지 말할 것도없고, 잘 정의되어 있는지 여부를 확인합니다.

특정 함수 쌍의 런타임은 다른 함수를 호출하지 않고 반환되지 않기 때문에 무한합니다. 의 반환 값 a입니다 항상 호출의 반환 값에 의존 b하는 항상 호출 a... 그리고로 알려진 무슨의 그 무한 재귀 .

확실한 방법은 함수를 실행하고 시간이 얼마나 걸리는지 측정하는 것입니다. 그래도 특정 입력에 걸리는 시간 만 알려줍니다. 그리고 함수가 종료되는지 미리 알지 못하면 터프합니다. 함수가 종료되는지 여부를 알아낼 수있는 기계적인 방법 은 없습니다. 이것이 정지 문제 이며 결정 불가능합니다.

함수의 실행 시간을 찾는 것은 Rice의 정리에 의해 결정될 수 없습니다 . 실제로 라이스 정리는 함수가 제 O(f(n))시간에 실행되는지 여부를 결정하는 것조차도 결정 불가능 하다는 것을 보여줍니다 .

따라서 일반적으로 할 수있는 최선의 방법은 인간의 지능 (우리가 아는 한 튜링 머신의 한계에 구속되지 않음)을 사용하여 패턴을 인식하거나 패턴을 고안하는 것입니다. 함수의 런타임을 분석하는 일반적인 방법은 함수의 재귀 정의를 런타임에 재귀 방정식 (또는 상호 재귀 함수에 대한 일련의 방정식)으로 바꾸는 것입니다.

T_a(x) = if x ≤ 0 then 1 else T_b(x-1) + T_a(x-1)
T_b(x) = if x ≤ -5 then 1 else T_b(T_a(x-1))

다음은? 이제 수학 문제가 있습니다.이 함수 방정식을 풀어야합니다. 종종 작동하는 방법은 함수를 해석, 이것들을 해결하기 위해 분석 기능과 사용 미적분에 대한 방정식에 정수 기능에 대한 이러한 방정식을 설정하는 것입니다 T_a과 T_b같이 생성 기능 .

함수와 다른 이산 수학 주제를 생성 할 때 Ronald Graham, Donald Knuth 및 Oren Patashnik의 Concrete Mathematics 책을 추천합니다 .

다른 사람들이 지적했듯이 재귀 분석은 매우 빠릅니다. : 여기에 같은 것은 또 다른 예입니다 http://rosettacode.org/wiki/Mutual_recursion http://en.wikipedia.org/wiki/Hofstadter_sequence#Hofstadter_Female_and_Male_sequences 는 답변 이들에 대한 실행 시간을 계산하기 어렵다은. 이것은 "복잡한 형태"를 갖는 이러한 상호 재귀 함수 때문이다.

어쨌든,이 쉬운 예를 보자 :

http://pramode.net/clojure/2010/05/08/clojure-trampoline/

(declare funa funb)
(defn funa [n]
  (if (= n 0)
    0
    (funb (dec n))))
(defn funb [n]
  (if (= n 0)
    0
    (funa (dec n))))

다음과 같이 계산해 봅시다 funa(m), m > 0:

funa(m) = funb(m - 1) = funa(m - 2) = ... funa(0) or funb(0) = 0 either way.

런타임은 다음과 같습니다.

R(funa(m)) = 1 + R(funb(m - 1)) = 2 + R(funa(m - 2)) = ... m + R(funa(0)) or m + R(funb(0)) = m + 1 steps either way

이제 좀 더 복잡한 예제를 하나 골라 보자.

http://planetmath.org/encyclopedia/MutualRecursion.html 에서 영감을 얻었 습니다. "" "피보나치 수는 상호 재귀를 통해 해석 될 수 있습니다. F (0) = 1 및 G (0 ) = 1이고 F (n + 1) = F (n) + G (n) 및 G (n + 1) = F (n)입니다. "" "

그렇다면 F의 런타임은 무엇입니까? 우리는 다른 길로 갈 것입니다.
음, R (F (0)) = 1 = F (0); R (G (0)) = 1 = G (0)
이제 R (F (1)) = R (F (0)) + R (G (0)) = F (0) + G (0) = F (1)
...
R (F (m)) = F (m)임을 알기가 어렵지 않습니다. 예를 들어 인덱스 i에서 피보나치 수를 계산하는 데 필요한 함수 호출 수는 피보나치 수 값과 같습니다. 색인에서 i. 이것은 두 개의 숫자를 더하는 것이 함수 호출보다 훨씬 빠르다고 가정했습니다. 그렇지 않은 경우, 이는 사실입니다 : R (F (1)) = R (F (0)) + 1 + R (G (0)) 그리고 이것에 대한 분석은 더 복잡했을 것입니다. 쉬운 폐쇄 형 솔루션이 없을 수도 있습니다.

피보나치 수열의 닫힌 형태는 좀 더 복잡한 예는 말할 것도없이 재창조하기 쉽지는 않습니다.

가장 먼저해야 할 일은 정의한 함수가 종료되고 어떤 값이 정확하게 작동하는지 보여주는 것입니다. 이 예에서는

int a(int x){
  if (x < = 0)
    return 1010;
  else
    return b(x-1) + a(x-1);
}
int b(int y){
  if (y <= -5)
    return -2;
  else
    return b(a(y-1));
}

b에만 종료 y <= -5하면 다른 값에 연결하면 다음과 같은 형식의 기간을 가지고 있기 때문에 b(a(y-1)). 좀 더 확장하면 양식의 용어가 b(a(y-1))결국 용어 b(1010)로 이어지고 b(a(1009))다시 용어 로 이어진다는 것을 알 수 b(1010)있습니다. 즉 , 계산할 값이 계산되는 값에 따라 무한 루프로 끝나기 때문에 a만족하지 않는 값을 연결할 수 없습니다 x <= -4. 따라서 본질적으로이 예제는 런타임이 일정합니다.

따라서 간단한 대답은 재귀 함수의 런타임을 결정하는 일반적인 방법이 없다는 것입니다. 재귀 적으로 정의 된 함수의 종료 여부를 결정하는 일반적인 절차가 없기 때문입니다.

Big-O에서와 같은 런타임?

즉 쉽게 : O (N) - 종료 조건이 있음을 가정.

재귀는 단지 루핑이며 간단한 루프는 루프 에서 수행하는 작업 수에 관계없이 O (N) 입니다 (다른 메소드를 호출하는 것은 루프의 또 다른 단계 일뿐입니다).

흥미로운 부분은 하나 이상의 재귀 메서드 내에 루프가있는 경우입니다. 이 경우 일종의 지수 성능 ( 메소드를 통과 할 때마다 O (N) 을 곱함)으로 끝납니다 .