몬테 카를로 파이 추정에 대한 오해

나는 Monte Carlo 통합의 작동 방식을 이해한다고 확신하지만 Pi를 추정하는 데 사용되는 방식의 공식을 이해하지 못합니다. 이 프레젠테이션의 다섯 번째 슬라이드에 요약 된 절차를 따르겠습니다 . http://homepages.inf.ed.ac.uk/imurray2/teaching/09mlss/slides.pdf

예비 단계를 이해합니다. Pi는 단위 원의 1/4 면적의 4 배입니다. 그리고 (0,0)을 중심으로 한 단위 원의 오른쪽 위 1/4의 면적은 및 의 단위 원의 오른쪽 위 1/4 인 곡선의 적분과 같습니다. . $0<x<1$$0<y<1$

내가 이해하지 못하는 것은이 정수가 어떻게

$\iint I((x^2+y^2)<1)P(x,y)dxdy$

여기서 $P(x,y)$ 는 1/4 원 주위의 단위 제곱에 균일하게 분포됩니다 (즉, 0 <x <1 이면 0$0<x<1$ 이고 $0<y<1$ 이면 0이고, 그렇지 않으면 0입니다). 따라서 이것은 $I((x^2+y^2)<1)P(x,y)$
는 $0<x<1$ 및 0 <y < 에서 단위 원의 오른쪽 위 사분면 인 함수임을 의미합니다. 1$0<y<1$ 이지만 표시기 기능이 1 또는 0 일 수 있기 때문에 이것이 어떻게 적용되는지 이해하지 못합니다. Monte Carlo 샘플링을 쉽게하기 위해 아마도 이런 식으로 작성되었다는 것을 이해합니다 (즉, 기대는 $P(x,y)$ 적용하고 I ((x ^ 2 + y ^ 2) <1)에 적용된 샘플의 평균을 구합니다.$I((x^2+y^2)<1)$) 왜 그 적분이 해당 곡선 아래 영역을 나타내는 지 이해가되지 않습니다.

누군가 이것에 대한 직관적 인 설명을 제공 할 수 있습니까? 그 적분이 어떻게 단계별로 도출되었는지 보여줄 수 있습니까?

편집하다:

나는 기대를 한 영역에 관련시킴으로써 더 나은 이해를 얻을 수 있었다. 누군가를 도울 수 있도록 여기에 설명하겠습니다. 먼저 Pi를 단위 원의 오른쪽 위 사분면 영역에 관련시킵니다.

$\pi=4\times A_{tr}$

그런 다음 오른쪽 상단 사분면을 단위 사각형에 놓습니다. 그리고 단위 제곱의 균일 한 분포 하에서, 사분면의 면적은 그로부터 샘플을 얻을 확률에 비례합니다. 이하의 평등은

$P(x^2+y^2<1)=\frac{A_{tr}}{A_{square}}$

및 $A_{square}=1$ 이므로

$P(x^2+y^2<1)=A_{tr}$

그리고 원래 방정식으로 대체

$\pi=4\times P(x^2+y^2<1)$

그것은 또한 사실이다 일본어 이중 적분과 동일하다.$P(x^2+y^2<1)=E[I(x^2+y^2<1)]$

그래서 저는 그 영역을 확률과 관련시킨 다음 그 확률을 적분과 동등한 기대치와 관련시킴으로써 이해했습니다. 실수를 한 경우 알려주십시오.

반경의 원을 원의 영역 동일하다 . 이는 1/4의 원이 영역을 가짐을 의미합니다 . 이것은 측면의 원의 반지름이 사각형 인 임을 의미합니다 .$l$$\pi l^2$$l^2\pi/4$$area=l^2$

이것은 1/4의 면적과 사각형의 면적 사이의 비율이 임을 의미합니다 . $\pi/4$

경우 점 는 사각형에 있습니다. 경우 원의 분기에 있습니다. $(x,y)$$0<x<1, 0<y<1$$0<x<1, 0<y<1 ,x^2+y^2<1$

적분은 정확히 1/4의 원으로 묘사 된 영역입니다$∬I((x^2+y^2)<1)P(x,y)= ∬I((x^2+y^2)<1) I(0<x<1)I(0<y<1)$

가장 간단한 직관적 설명은 이해하는 데 달려 있습니다. 따라서 입니다. 이중 정수가 단순히 확률이라는 것을 깨닫고 나면 단위 제곱에서 와 를 샘플링 하고 인 드로우 비율을 계산할 수 있다는 직관적 인 의미가 있어야합니다 . $E(I(A)) = P(A)$$\int \int I(x^2+y^2 < 1)dxdy = P(x^2 + y^2 < 1)$$x$$y$$x^2 + y^2 <1$

아마도 이해에서 빠진 다른 직감은 면적과 확률 사이의 연결입니다. 전체 단위 제곱의 면적이 1이고 점 이 제곱 내에 균일하게 분포 되기 때문에, 단위 제곱 내의 임의의 영역 의 면적은 임의로 선택된 점이 내에있을 확률에 대응할 것이다 .$(x,y)$$A$$A$

나는이 서핑 CV에 착륙했고, Monte Carlo의 코드가 옥타브에 있다는 것을 알았습니다. OP에서 적분의 제약하에 평면 에서 이변 량 균일 분포로 숫자 를 도출하는 아이디어를 매우 직관적으로 만드는 R의 시뮬레이션이 발생합니다 .$\pi$$[0,1]$

원의 4 분의 1이 1 단위의 정사각형으로 둘러싸인 경우, 면적은 입니다. 따라서 정사각형 에 균일하게 분포 된 점을 생성 하면 전체 정사각형이 카페트되고 를 충족하는 분수를 계산하면 분수를 선택하기 때문에 단위 사각형과 관련하여 원 안에있는 점들 :$\pi/4$$(x,y)$$1 < \sqrt{(x^2+y^2)}$$∬\textbf{1}((x^2+y^2)<1) \,\textbf{1}(0<x<1)\,\textbf{1}(0<y<1)$

x <- runif(1e4); y <- runif(1e4)
radius <- sqrt(x^2 + y^2)
# Selecting those values within the circle is obtained with radius[radius < 1]:
(pi = length(radius[radius < 1]) / length(radius)) * 4     =    3.1272

10,000 개의 드로우 중 반경 내에 속하는 값을 플로팅 할 수 있습니다.

그리고 자연스럽게 더 많은 점을 선택함으로써 근사치에 가까워 질 수 있습니다. 백만 포인트로 다음을 얻습니다.

(pi = length(radius[radius < 1]) / length(radius)) * 4 [1] 3.141644

매우 근사한 결과. 줄거리는 다음과 같습니다.