오류가있는 데이터에 가장 적합한 선형 회귀 모델

독립 변수 (x)에 일정한 측정 오류가 있고 종속 변수 (y)에 신호 종속 오류가있는 데이터에 가장 적합한 선형 회귀 알고리즘을 찾고 있습니다.

위의 이미지는 내 질문을 보여줍니다.

종속 변수의 측정 오류

일반적인 선형 모형이 주어짐

$$y=\beta_0+\beta_1 x_1+\cdots+\beta_kx_k+\varepsilon\tag{1}$$ 와 $\varepsilon$ 자기 변형 적이 지 않고 독립 변수와 상관 관계가없는 동족체 $y^*$ "true"변수를 나타내고 $y$관찰 가능한 측정. 측정 오차는 그 차이로 정의됩니다 $$e=y-y^*$$ 따라서 추정 가능한 모델은 다음과 같습니다. $$y=\beta_0+\beta_1 x_1+\cdots+\beta_kx_k+e+\varepsilon\tag{2}$$ 이후 $y,x_1,\dots,x_k$OLS로 모델을 추정 할 수 있습니다. 측정 오차가$y$ 각 설명 변수와 통계적으로 독립적입니다. $(e+\varepsilon)$ 같은 속성을 공유 $\varepsilon$ 그리고 일반적인 OLS 추론 절차 ($t$통계 등)이 유효합니다. 그러나 귀하의 경우에는$e$. 당신은 사용할 수 있습니다 :

• 가중 최소 제곱 추정기 (예 : Kutner et al. , §11.1; Verbeek , §4.3.1-3);

• 여전히 편견이없고 일관적이고 이질성에 일관성이있는 표준 오류이거나 단순히 표준 표준 오류 ( Verbeek , §4.3.4) 인 OLS 추정기 .

독립 변수의 측정 오류

위와 같은 선형 모델이 주어지면 $x_k^*$ "참"값을 나타내고 $x_k$관찰 가능한 측정. 측정 오류는 다음과 같습니다.

$$e_k=x_k-x_k^*$$ 두 가지 주요 상황이 있습니다 ( Wooldridge , §4.4.2).

• $\text{Cov}(x_k,e_k)=0$: 측정 오류는 관측 된 측정 값과 관련이 없으므로 관찰되지 않은 변수와 상관되어야합니다. $x^*_k$; 쓰기$x_k^*=x_k-e_k$ 그리고 이것을 (1)에 연결 :

  $$y=\beta_0+\beta_1x_1+\cdots+\beta_kx_k+(\varepsilon-\beta_ke_k)$$ 이후 $\varepsilon$ 과 $e$ 둘 다 서로 관련이 없습니다 $x_j$포함 $x_k$측정은 오차 분산을 증가시키고 OLS 가정을 위반하지 않습니다.

• $\text{Cov}(x^*_k,\eta_k)=0$: 측정 오류는 관찰되지 않은 변수와 관련이 없으므로 관찰 된 측정 값과 상관되어야합니다. $x_k$; 이러한 상관 관계는$y$ 의 위에 $x_1,\dots,x_k$ 일반적으로 편견 및 비 위반 추정값을 제공합니다.

당신의 줄거리 (독립 변수의 "참"값을 중심으로 한 오류들)를 보면 추측 할 수있는 한, 첫 번째 시나리오가 적용될 수 있습니다.