왜 Kolmogorov-Smirnov 테스트를 2 차원 이상으로 일반화 할 수 없습니까?

문제는 모든 것을 말합니다. 나는 KS를 2 이상의 차원으로 일반화 할 수 없으며 Numerical Recipes 에서와 같은 유명한 구현 은 단순히 잘못되었다는 것을 읽었습니다 . 왜 그런지 설명해 주시겠습니까?

해당 단락의 관련 부분을 인용하는 것이 합법적이라고 생각합니다.

3. KS 시험은 2 차원 이상으로 적용 할 수 없습니다. 천문학 자들은 종종 선이 아닌 평면이나 더 높은 차원으로 점이 분포 된 데이터 세트를 가지고 있습니다. 천문학 문헌의 몇몇 논문은 2 차원 KS 테스트를 제시하기 위해 만들어졌으며, 그 중 하나는 유명한 음량 레시피로 재생산되었습니다. 그러나 EDF 기반 테스트 (KS, AD 및 관련 테스트 포함)는 2 차원 이상으로 적용 할 수 없습니다. 잘 정의 된 EDF 간의 거리를 계산할 수 있도록 점을 정렬하는 고유 한 방법이 없기 때문입니다. 순서 순서에 따라 통계를 구성한 다음 두 데이터 세트 (또는 하나의 데이터 세트와 곡선) 사이의 최고 거리를 계산할 수 있습니다. 그러나 결과 통계의 임계 값은 분포가 없습니다.

언급했듯이 이것은 너무 강해 보입니다.

1) 이변 량 분포 함수 는 에서 까지의 맵입니다 . 즉, 함수는 0과 1 사이의 일 변량 실제 값을 취 합니다. 확률 인 값은 이미 "정렬"되어 있습니다.이 값 (함수 값)은 ECDF 기반 테스트와 비교해야합니다. . 마찬가지로, ecdf, 는 이변 량 경우에 완벽하게 정의되어 있습니다.$F(x_1,x_2) = P(X_1\leq x_1,X_2\leq x_2)$$\mathbb{R}^2$$[0,1]$$\hat F$

텍스트가 제안하는 것처럼 일 변량 결합 변수의 함수로 변환해야 할 필요는 없다고 생각합니다. 당신은 단순히 계산 와 모든 필요한 조합에서 그 차이를 계산한다.$F$$\hat F$

2) 그러나 배포가 없는지 여부에 대한 질문에는 다음과 같은 요점이 있습니다.

a) 명백히 그러한 시험 통계량은 마진의 변형에 의한 변경에 의해 변경되지 않을 것이다. 즉, 이변 량 독립 제복의 시험으로 구성된 경우, , 그것은 동일하게 작동한다 웰의 독립 테스트 등 여기서 . 그런 의미에서 배포가 필요 없습니다 ( '여백 없음'이라고 할 수도 있음).$\mathbf{U}=(U_1,U_2)$$(X_1,X_2)$$U_i=F_i(X_i)$

b) 그러나 더 넓은 의미에서 KS 통계의 순진한 버전 (예 : 방금 설명한 바와 같이)이 더 일반적으로 배포되지 않는다는 근본적인 요점이 있습니다. 우리는 단순히 임의로 변환 할 수 없습니다. .$U$$X^* = \mathbf{g}(\mathbf{U})$

내 대답의 이전 버전에서는 다음과 같이 말했습니다.

어려움없고 문제 없어

그건 틀렸어요. 방금 언급했듯이 이변 량 독립 유니폼의 마진뿐만 아니라 변화가있는 경우 실제로 문제가 있습니다. 그러나 이러한 문제는 여러 가지 방법으로 여러 문제에서 고려되지 않은 Kolmogorov-Smirnov 통계의 이변 량 / 다변량 버전을 산출하는 여러 논문에서 고려되었습니다.

다시 돌아와서 그러한 참고 문헌 중 일부와 시간이 허락하자마자 어떻게 작동하는지에 대한 토론을 추가 할 수 있습니다.