가우스 분포의 표본 첨도 분포에 대한 닫힌 형태 표현

가우스 분포에서 샘플링 한 데이터의 표본 첨도 분포에 대한 닫힌 형태의 표현이 있습니까? 즉,

$P(\hat{K}<a)$ 여기서 는 샘플 첨도입니다.$\hat{K}$

정확한 샘플링 분포는 도출하기 까다 롭습니다. 처음 몇 순간 (1929 년으로 거슬러 올라간), 다양한 근사치 (1960 년대 초로 거슬러 올라간) 및 시뮬레이션 (1960 년대로 거슬러 올라간)을 기반으로 한 테이블이있었습니다.

보다 구체적으로 :

Fisher (1929)는 일반 표본에서 왜도 및 첨도의 표본 추출 분포를 제공하고 Pearson (1930) (또한)은 왜도 및 첨도의 표본 추출 분포를 제공하며 이들을 기반으로 테스트를 제안합니다.

예를 들어 :$^*$

$E(b_2)=\frac{3(n-1)}{n+1}$

$\text{Var}(b_2)=\frac{24n(n-2)(n-3)}{(n+1)^2(n+3)(n+5)}$

의 왜도 는$b_2$$\frac{216}{n}(1-\frac{29}{n}+\frac{519}{n^2}-\frac{7637}{n^3}+\ldots)$

의 초과 첨도 는 입니다.$b_2$$\frac{540}{n}-\frac{20196}{n^2}+\frac{470412}{n^3}+\ldots$

*주의-모멘트 값 등은 사용중인 샘플 첨도의 정확한 정의에 따라 다릅니다. 예를 들어 또는 에 대해 다른 수식이 표시 되면 일반적으로 샘플 첨도에 대한 정의가 약간 달라지기 때문입니다.$E(b_2)$$\text{Var}(b_2)$

이 경우 위의 수식은 합니다.$b_2=n\frac{\sum_i (X_i-\bar X)^4}{(\sum_i (X_i-\bar X)^2)^2}$

Pearson (1963)은 Pearson IV 형 또는 Johnson 분포에 의한 정상 샘플에서의 첨도의 샘플링 분포를 근사화하는 방법에 대해 논의합니다 (30 년 전에 처음 4 개의 순간이 주어진 이유는 Pearson 계열을 사용할 수있는 이유 임) .$S_U$

Pearson (1965)은 일부 값에 대한 첨도 백분위 수에 대한 표를 제공합니다 .$n$

D' Agostino와 Tietjen (1971)은 첨도에 대한보다 광범위한 백분위 수 테이블을 제공합니다.

D' Agostino와 Pearson (1973)은 더 넓은 범위의 사례를 다시 다루는 첨도 백분율 백분율 그래프를 제공합니다.

Fisher, RA (1929),
"샘플링 분포의 순간 및 제품 순간"
, London Mathematical Society , Series 2, 30 : 199-238의 절차.

Pearson, ES, (1930)
"정상 성 시험의 추가 개발",
Biometrika , 22 (1-2), 239-249.

Pearson, ES (1963)
"모멘트를 사용하여 확률 분포에 근접하여 발생하는 일부 문제"
Biometrika , 50 , 95-112

Pearson, ES (1965)
" 정상 샘플에서 및 의 백분율 포인트 표 : 반올림" Biometrika , 52 , 282-285 b$\sqrt{b_1}$$b_2$

D' Agostino, RB 및 Tietjen, GL (1971),
" 작은 샘플에 대한 시뮬레이션 확률 포인트 ", Biometrika , 58 , 669-672.$b_2$

D' Agostino, RB 및 ES, Pearson, ES (1973),
"정규성 이탈 테스트. 및 분포에 대한 실험 결과 ," Biometrika , 60 , 613-622.$b_2$$\sqrt{b_1}$

정규 표본의 표본 첨도는 분산이 인 제로 평균 정규 분포로 대략 분포되며 , 여기서 은 표본 크기입니다 (자연스럽게 이 클수록 근사치가 더 좋습니다. 분산에 대한 더 복잡한 표현은 wikipedia 페이지 에서 찾을 수 있습니다 ). 작은 크기 (<40)의 가우시안 샘플에 대해 백분위 수가 Lacher, DA (1989) 에서 도출되었습니다 . 왜도 및 첨도의 샘플링 분포. 임상 화학, 35 (2), 330-331.N $\approx 24/n$$n$$n$