FIFA Panini 앨범을 완성하려면 몇 개의 스티커가 필요합니까?

나는 축구 월드컵, 유럽 선수권 및 기타 토너먼트에 일반적으로 게시되는 클래식 Panini 앨범의 인터넷 적응 인 FIFA Panini Online Sticker Album을 재생 하고 있습니다.

앨범에는 424 개의 다른 스티커에 대한 자리 표시자가 있습니다. 이 게임의 목적은 424 개를 모두 모으는 것입니다. 스티커는 5 개 팩으로 제공되며, 온라인에서 찾은 코드를 통해 얻을 수 있습니다 (또는 클래식 인쇄 앨범의 경우 지역 신문 판매점에서 구입).

나는 다음과 같은 가정을한다.

모든 스티커는 같은 수량으로 발행됩니다.
스티커 한 팩에는 중복이 포함되어 있지 않습니다.

424 개의 고유 한 스티커가 모두 있는지 확실하게 하기 위해 구입해야하는 스티커 팩 수를 어떻게 알 수 있습니까?

probability coupon-collector-problem

— 비 다르 람달
소스

쿠폰 수집기 문제 와 관련된 다른 질문을 읽으면 많은 통찰력을 얻을 수 있습니다 .

— Glen_b-복귀 모니카

700 팩이 필요합니다. 424 개의 스티커를 모두 획득 할 수있는 확률은 90.0024 %입니다. 기회를 95 %로, 898을 99 % 확률로 가져 오려면 761이 필요합니다. (세트를 완성하는 데 평균 560 팩이 필요합니다. 352보다 적을 가능성은 거의 없습니다 (천 번에 한 번도되지는 않습니다))

— whuber

첫 번째 가정이 확실하지 않습니다. "Shinies"는 더 드문 경향이 있습니다.

— 제임스

흠, Asuranceturix가 게시 한 문서에서 읽을 수있는 내용에서 그들은 큰 차이가 없음을 증명했습니다.

— Vidar S. Ramdal 2016 년

@ VidarS.Ramdal 나는 수정되었습니다.

— James

답변:

스티커가 5 개 팩으로 제공된다는 사실에 의해 약간의 왜곡이 발생하는 것은 아름다운 쿠폰 수집기의 문제입니다.

스티커를 개별적으로 구입 한 경우 여기에서 볼 수 있듯이 결과가 알려져 있습니다 .

개별적으로 구매 한 스티커의 90 % 상한에 대한 모든 추정치도 5 팩 문제의 상한이지만 상한은 덜 가깝습니다.

5 개의 의존성 팩을 사용하여 더 나은 90 % 확률 상한을 얻는 것이 훨씬 어려워지고 훨씬 더 나은 결과를 얻지 못할 것이라고 생각합니다.

따라서 꼬리 추정값 을 및 을 사용하면 정답을 얻을 수 있습니다. $P[T>\beta n \log n] \leq n^{-\beta+1}$ $n=424$ $n^{-\beta+1} = 0.1$

편집 :

기사 "그룹 도면의 수집기 문제" (볼프강 Stadje) Assuranceturix 가져온 문서의 기준 제시 "스티커 팩"과 쿠폰 수집 문제에 대한 정확한 분석 용액.

$S$ $s = |S|$ $A \subset S$ $A = S$ $l = |A|$ $k$ $m$ $X_{k}(A)$ $A$

정리는 다음과 같이 말합니다.

P (X_{k} (A) = n) = (\binom{l}{n}) \sum_{j = 0}^{n} (- 1)^{j} (\binom{n}{j}) [(\binom{s + n - l - j}{m}) / (\binom{s}{m})]^{k}

$P(X_{k}(A) = n) = {l \choose n} \sum_{j=0}^{n}(-1)^j {n \choose j}[{s+n-l-j \choose m}/{s \choose m}]^k$

So, for the OP we have $l=s=n=424$ and $m=5$ . I did some tries with values of $k$ near the estimate for the classical coupon collector's problem (729 packs) and I got a probability of 90.02% for k equals to 700.

So it was not so far from the upper bound :)

— Jundiaius
소스

And this good answer would?

— ziggystar

About 3642 random stickers. So the upper bound for the "pack of 5 problem" would be something less than 729 packs.

— Jundiaius

The other day I came across a paper that addresses a closely related question:

http://www.unige.ch/math/folks/velenik/Vulg/Paninimania.pdf

If I have understood it correctly, the expected number of packs you would need to buy would be:

$\binom{424}{5}\sum_{j=1}^{424}\left(-1\right)^{j+1}\frac{\binom{424}{j}}{\binom{424}{5}-\binom{424-j}{5}}$

However, as eqperes points out in the comments, the specific question the OP asks is actually covered in detail in another paper that is not open access.

Their final conclusion suggests the following strategy (for an album of 660 stickers):

Buy a box of 100 packs of 5 stickers (500 stickers, guaranteed to be all different)
Buy 40 more packs of 5 stickers and swap the duplicates until you have at most 50 missing stickers.
Purchase the remaining stickers directly from Panini (these cost approx. 1.5 times as much).

This is total of 140 packs + upto 15 extra packs worth of stickers (by cost) purchased in a targeted fashion, equivalent to at most 155 packs.

— Asuranceturix
소스

Great! It seems that the central argument of their results would be in the "The collector’s problem with group drawings" article, that is sadly not in open access.

— Jundiaius

Haha, that's great! They also go into detail on how swapping affects the result (which I left out of the question). Very interesting, thanks!

— Vidar S. Ramdal

Can you summarize the solution to the OP's problem provided by the paper? Links sometimes expire and then this answer will become less useful.

— Andy

@Andy: I have edited the answer to address your concern, but it is not exactly the answer to the original question. Unfortunately, the original paper that does provide that answer is too hard to read for me, sorry.

— Asuranceturix

I am dubious about a box of 100 packs containing only distinct stickers. This seems like it would cause huge and unnecessary manufacturing complication for little benefit.

— jwg