일정 확률로 수렴 시뮬레이션

점근 적 결과는 무한대 개념과 관련된 진술이기 때문에 컴퓨터 시뮬레이션 으로는 입증 할 수 없습니다 . 그러나 우리는 이론이 말하는 방식대로 사물이 실제로 행진한다는 의미를 얻을 수 있어야합니다.

이론적 결과를 고려하십시오

lim_{n \to \infty} P (| X_{n} | > ϵ) = 0, ϵ > 0

$\lim_{n\rightarrow\infty}P(|X_n|>\epsilon) = 0, \qquad \epsilon >0$

여기서 $X_n$ 은 동일하고 독립적으로 분포 된 $n$ 랜덤 변수 의 함수입니다 . 이것은 이 $X_n$ 확률 적으로 0으로 수렴 한다고 말합니다 . 필자가 생각하는 전형적인 예는 $X_n$ 이 표본 평균에서 표본 iidrv의 공통 예상 값을 뺀 경우입니다.

X_{n} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} Y_{i} - E [Y_{1}]

$X_n = \frac 1n\sum_{i=1}^nY_i - E[Y_1]$

질문 : 꼭 유한 샘플의 컴퓨터 시뮬레이션 결과를 사용하여 위의 관계가 "실제 세계에서 구체화"되고 있음을 어떻게 확실하게 보여줄 수 있습니까?

나는 특별히 상수 에 대한 수렴을 선택했다는 점에 유의하십시오 .

나는 내 접근 방식 아래에 답변으로 제공하며 더 나은 방법을 원합니다.

업데이트 : 내 머리 뒤쪽에 무언가가 귀찮았습니다. 그리고 나는 무엇을 알았습니다. 나는 가장 흥미로운 토론이 답변 중 하나 에 대한 의견에서 진행된 오래된 질문을 찾았습니다 . 거기에서 @Cardinal은 추정기의 예를 제공했지만 일관성은 있지만 그 분산은 0이 아닌 유한 한 그대로 유지됩니다. 그래서 내 질문의 더 어려운 변형은 다음과 같습니다.이 통계가 0이 아닌 유한 분산을 무증상으로 유지할 때 통계가 확률로 상수로 수렴한다는 것을 어떻게 보여 줍니까?

— 알레 코스 파파도풀로스
소스

@Glen_b 당신에게서 오는 것은 배지와 같습니다. 감사.

— Alecos Papadopoulos 2016

때때로 이것에 대해 생각하고 내가 생각해 낸 것은 '평균 주위의 집중력'-인수입니다. 여기 영리한 사람들이 뭔가 흥미로운 것을 쓸 시간이 있기를 바랍니다! (물론 +1!)

— ekvall 2016 년

를 분포 함수 (특정 경우에 보완 함수 로 생각 합니다. 컴퓨터 시뮬레이션을 사용하여 이론적 인 결과가 우리에게 알려주는 방식을 나타내는 경향이 있음을 나타 내기 때문에 의 경험적 분포 함수를 구성해야합니다 , 또는 경험적 상대 주파수 분포, 그리고 증가함에 따라 "더 많은 것"을 0으로 집중하십시오. $P()$ $|X_n|$ $n$ $|X_n|$

경험적 상대 주파수 함수를 얻으려면 표본 크기가 증가함에 따라각각의 다른 대한 변화 . $|X_n|$ $n$

나는의 분포에서 생성 할 필요가 그래서 의, "병렬"샘플 말할 , 수천에 이르기까지 약간의 초기 크기를 각각 말, 수만에 이르기까지. 그런 다음 의 값을 계산해야합니다. 각 샘플에서 (및 동일한 ) 즉, 값 집합 얻습니다 . $Y_i$ $m$ $m$ $n$ $n$ $|X_n|$ $n$ $\{|x_{1n}|, |x_{2n}|,...,|x_{mn}|\}$

이 값은 경험적 상대 주파수 분포를 구성하는 데 사용할 수 있습니다. 이론적 인 결과에 대한 믿음을 가지고, 나는 "0에 "매우 가깝습니다". 물론 모든 것은 아닙니다. $|X_n|$

따라서 의 값을 보여주기 위해 실제로 점점 더 많은 숫자에서 0을 향해 행진한다면, 프로세스를 반복하고 샘플 크기를 늘리고 이제 0으로의 농도가 "증가"했음을 보여 주어야합니다. 분명히 그것이 증가했다는 것을 보여주기 위해, 대한 경험적 값을 지정해야합니다 . $|X_n|$ $2n$ $\epsilon$

충분할까요? 이 "집중 증가"를 어떻게 든 공식화 할 수 있습니까? 더 "샘플 크기 증가"단계로 수행하고, 사람이 가까이 다른있는 경우이 절차는 실제에 대한 몇 가지 추정을 우리에게 제공 할 수있는 융합의 속도 경험적 확률 질량 "와 같은 즉, 뭔가 그 당 임계 값 아래로 이동 각각 천, 말,의 - 스텝? " $n$

또는, 말을하는 임계 값 검사 아래의 확률 거짓말 %를, 그리고이 값 방법을 볼 크기가 감소됩니다를? $90$ $\epsilon$

예

고려 '로이야 등을 $Y_i$ $U(0,1)$

| X_{n} | = | \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} Y_{i} - \frac{1}{2} |

$|X_n| = \left|\frac 1n\sum_{i=1}^nY_i - \frac 12\right|$

먼저 크기 의 샘플을 생성 합니다. 의 실험 상대 주파수 분포 ~처럼 보인다 $m=1,000$ $n=10,000$ $|X_{10,000}|$ 여기에 이미지 설명을 입력하십시오

우리가주의 의 값 %를 보다 작 . $90.10$ $|X_{10,000}|$ $0.0046155$

다음으로 샘플 크기를 늘 립니다. 이제 의 실험 상대 주파수 분포 같은 외모 우리가주의와 의 값 %를 미만 . 또는 이제 %의 값이 아래로 . $n=20,000$ $|X_{20,000}|$ 여기에 이미지 설명을 입력하십시오 $91.80$ $|X_{20,000}|$ $0.0037101$ $98.00$ $0.0045217$

그러한 시위로 설득 하시겠습니까?

— 알레 코스 파파도풀로스
소스

그라면 아니, 난, 그러한 데모에 의해 설득되지 않을 것 모두 제공되는 것을. 청구 된 결과와 0이 아닌 분포에서 매우 적은 양의 오염이 발생한 결과를 구별 할 수 없습니다. 진정으로 설득력있는 컴퓨터 시뮬레이션은 그러한 현상을 배제하는 추론을 동반해야합니다. (최근에 의 표본 크기로 진행된 일련의 시뮬레이션을 수행했습니다 . 오타가 아니지만 결과는 매우 암시되었지만 여전히 설득력이 없었습니다!)

10^{1000}

$10^{1000}$

— whuber

@whuber 당신이 쓰는 것은 매우 흥미로운 소리입니다. 이 시뮬레이션은 초기 실제 데이터를 기반으로 언급되었는데, 여기서 추정 된 분포와 추가 인공 데이터가 생성 된 분포는 무엇입니까? 아니면 처음부터 인공적 이었습니까? 기밀 유지가 문제가 아니며 시간이 허락한다면 개인적으로 이러한 시뮬레이션이 어떻게 발전했으며 의심이 남아있는 이유에 대해 약간의 답변을 제공하고 싶습니다.

— Alecos Papadopoulos 2016

인공 데이터였습니다. stats.stackexchange.com/questions/104875/… 에서 의견을 지원하기 위해 이러한 시뮬레이션을 수행 했습니다 . Bernoulli 분포 에서 의 표본을 생성 하려면 이항 분포 에서 단일 값을 그리면 됩니다. 때 충분히 큰, 당신은뿐만 아니라 정상에서 값 그릴 수 분포를. 주요 트릭은 자리 정밀도 로이 작업을 수행하는 것입니다 :-).

N

$N$

(1 / 2)

$(1/2)$

(N, 1 / 2)

$(N,1/2)$

N

$N$

(N / 2, \sqrt{N} / 2)

$(N/2, \sqrt{N}/2)$

1000

$1000$

— whuber

@ Huber 감사합니다, 나는 그것을 할 것입니다. 그건 그렇고, 당신이 언급 한 질문, 그 대답 및 의견은 비정규 표본에서 표본 분산의 점근 분포와 Slutsky 정리의 적용 가능성을 더 깊이 조사하도록 설정했습니다. 답변에 사용됩니다. 결과를 공유 할 수 있기를 바랍니다.

— Alecos Papadopoulos 2016 년