극한 가치 이론-Show : Normal to Gumbel

최대 iid Standardnormals는 극한값 이론 에 따라 표준 Gumbel 분포로 수렴됩니다 . $X_1,\dots,X_n. \sim$

우리는 어떻게 그것을 보여줄 수 있습니까?

우리는

P (max X_{i} \leq x) = P (X_{1} \leq x, \dots, X_{n} \leq x) = P (X_{1} \leq x) \dots P (X_{n} \leq x) = F (x)^{n}

$P(\max X_i \leq x) = P(X_1 \leq x, \dots, X_n \leq x) = P(X_1 \leq x) \cdots P(X_n \leq x) = F(x)^n$

다음 과 같은 상수의 시퀀스 를 찾거나 선택해야 합니다. $a_n>0,b_n\in\mathbb{R}$

F {(a_{n} x + b_{n})}^{n} \to^{n \to \infty} G (x) = e^{- \exp (- x)}

$F\left(a_n x+b_n\right)^n\rightarrow^{n\rightarrow\infty} G(x) = e^{-\exp(-x)}$

당신은 그것을 해결하거나 문학에서 찾을 수 있습니까?

몇 가지 예 pg.6 / 71 이 있지만 일반적인 경우는 아닙니다.

Φ {(a_{n} x + b_{n})}^{n} = {(\frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{a_{n} x + b_{n}} e^{- \frac{y^{2}}{2}} d y)}^{n} \to e^{- \exp (- x)}

$\Phi\left(a_n x+b_n\right)^n=\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{a_n x+b_n} e^{-\frac{y^2}{2}}dy\right)^n\rightarrow e^{-\exp(-x)}$

— 엠 코르
소스

답변:

간접적 인 방법은 다음과 같습니다.
절대적으로 연속적인 배포를 위해 Richard von Mises (1936 년 논문 "La distribution de la plus grande n n eureurs" )는 1964 년 판에서 선택된 것으로 영어로 재생산 된 것으로 보입니다. 그의 논문은 , 최대 샘플이 표준 Gumbel, 에 수렴하기 위해 다음과 같은 충분한 조건을 제공했습니다 . $G(x)$

하자 공통 분포의 함수일 랜덤 변수 IID 및 공통의 밀도. 그렇다면 $F(x)$ $n$ $f(x)$

lim_{x \to F^{- 1} (1)} (\frac{d}{d x} \frac{(1 - F (x))}{f (x)}) = 0 \Rightarrow X_{(n)} \overset{d}{\to} G (x)

$\lim_{x\rightarrow F^{-1}(1)}\left (\frac d{dx}\frac {(1-F(x))}{f(x)}\right) =0 \Rightarrow X_{(n)} \xrightarrow{d} G(x)$

표준 법선에 대한 일반적인 표기법을 사용하여 미분을 계산하면

\frac{d}{d x} \frac{(1 - Φ (x))}{ϕ (x)} = \frac{- ϕ (x)^{2} - ϕ^{'} (x) (1 - Φ (x))}{ϕ (x)^{2}} = \frac{- ϕ^{'} (x)}{ϕ (x)} \frac{(1 - Φ (x))}{ϕ (x)} - 1

$\frac d{dx}\frac {(1-\Phi(x))}{\phi(x)} = \frac {-\phi(x)^2-\phi'(x)(1-\Phi(x))}{\phi(x)^2} = \frac {-\phi'(x)}{\phi(x)}\frac {(1-\Phi(x))}{\phi(x)}-1$

참고 . 또한 정규 분포의 경우 입니다. 따라서 한계를 평가해야합니다 $\frac {-\phi'(x)}{\phi(x)} =x$ $F^{-1}(1) = \infty$

lim_{x \to \infty} (x \frac{(1 - Φ (x))}{ϕ (x)} - 1)

$\lim_{x\rightarrow \infty}\left (x\frac {(1-\Phi(x))}{\phi(x)}-1\right)$

그러나 는 Mill의 비율이며 증가 함에 따라 표준 법선에 대한 Mill의 비율은 경향 이 있습니다. 그래서 $\frac {(1-\Phi(x))}{\phi(x)}$ $1/x$ $x$

lim_{x \to \infty} (x \frac{(1 - Φ (x))}{ϕ (x)} - 1) = x \frac{1}{x} - 1 = 0

$\lim_{x\rightarrow \infty}\left (x\frac {(1-\Phi(x))}{\phi(x)}-1\right) = x\frac {1}{x}-1= 0$

충분한 조건이 충족됩니다.

직관

때 공통 분포 함수와 IID되는 의 최대 분포 이고 $X_i$ $F$ $X_{(n)}$

F_{n} (x) = Pr (X_{(n)} \leq x) = Pr (X_{1} \leq x) Pr (X_{2} \leq x) \dots Pr (X_{n} \leq x) = F^{n} (x) .

$F_n(x) = \Pr(X_{(n)}\le x) = \Pr(X_1 \le x)\Pr(X_2 \le x) \cdots \Pr(X_n \le x) = F^n(x).$

정규 분포와 같이 의지 상한이 없으면 함수 의 시퀀스는 제한없이 오른쪽으로 계속 진행됩니다. $F$ $F^n$

그림 1

대한 부분 그래프 가 표시됩니다. $F_n$ $n=1,2,2^2, 2^4, 2^8, 2^{16}$

이 분포 의 모양 을 연구하기 위해 각 분포를 만큼 왼쪽으로 다시 이동 하고 만큼 크기를 조정 하여 비교할 수 있습니다. $b_n$ $a_n$

그림 2

이전의 각 그래프는 중간 값을 으로 설정하고 사 분위수 범위의 단위 길이를 만들기 위해 이동되었습니다 . $0$

FTG는 이러한 분포 함수가 모든 에서 점진적 으로 규모와 위치까지 극단적 인 값 분포 로 수렴되도록 시퀀스 및 을 선택할 수 있다고 주장합니다 . 하면 정규 분포이고, 특정 제한 극단 값 분포는 최대 위치 및 스케일에 Gumbel와 반대이다. $(a_n)$ $(b_n)$ $x$ $F$

해결책

단위 평균과 단위 분산을 갖도록 을 표준화하여 중앙 한계 정리를 모방하고 . 그러나 FTG는 첫 번째 또는 두 번째 모멘트가없는 (연속) 분포에도 적용되기 때문에 부적절합니다. 대신 백분위 수 (예 : 중앙값)를 사용하여 위치를 결정하고 백분위 수 (예 : IQR)의 차이를 확인하여 산포를 결정하십시오. (이 일반적인 접근은 발견에 성공한다 및 위해 어떤 연속 유통.) $F_n$ $a_n$ $b_n$

표준 정규 분포의 경우 이것은 쉬운 것으로 판명되었습니다! 보자 . 의 분위수 대응 임의의 값이다 위한 . 의 정의를 상기하면 해결책은 다음과 같습니다. $0 \lt q \lt 1$ $F_n$ $q$ $x_q$ $F_n(x_q) = q$ $F_n(x) = F^n(x)$

{엑스}_{큐; 엔} = {에프}^{- 1} (큐^{1 / 엔}) .

$x_{q;n} = F^{-1}(q^{1/n}).$

따라서 우리는 설정할 수 있습니다

비_{엔} = {엑스}_{1 / 2; 엔}, ㅏ_{엔} = {엑스}_{삼 / 4; 엔} - {엑스}_{1 / 4; 엔}; 지_{엔} (엑스) = {에프}_{엔} (ㅏ_{엔} 엑스 + 비_{엔}) .

$b_n = x_{1/2;n},\ a_n = x_{3/4;n} - x_{1/4;n};\ G_n(x) = F_n(a_n x + b_n).$

구조적으로 의 중앙값 은 이고 IQR은 이므로 (역전 된 Gumbel의 일부 버전)의 제한 값의 중앙값은 이어야하고 IQR은 이어야합니다 . scale 매개 변수를 로하고 location 매개 변수를 . 중앙값은 이고 IQR은 쉽게 이므로 매개 변수는 다음과 같아야합니다. $G_n$ $0$ $1$ $G_n$ $0$ $1$ $\beta$ $\alpha$ $\alpha + \beta \log\log(2)$ $\beta(\log\log(4) - \log\log(4/3))$

α = \frac{\log \log 2}{로그 로그 (4 / 삼) - 로그 로그 (4)}; β = \frac{1}{로그 로그 (4) - 로그 로그 (4 / 삼)} .

$\alpha = \frac{\log\log 2}{\log\log(4/3) - \log\log(4)};\ \beta = \frac{1}{\log\log(4) - \log\log(4/3)}.$

및 이 정확히이 값일 필요는 없습니다 . 의 한계 가 여전히이 반전 된 Gumbel 분포 인 경우 근사값 만 필요합니다 . 표준 정규 대한 간단하지만 지루한 분석 은 근사치 $a_n$ $b_n$ $G_n$ $F$

ㅏ_{엔}^{'} = \frac{로그 ((4 {로그}^{2} (2)) / ({로그}^{2} (\frac{4}{삼})))}{2 \sqrt{2 로그 (엔)}}, 비_{엔}^{'} = \sqrt{2 로그 (엔)} - \frac{로그 (로그 (엔)) + 로그 (4 π {로그}^{2} (2))}{2 \sqrt{2 로그 (엔)}}

$a_n^\prime = \frac{\log \left(\left(4 \log^2(2)\right)/\left(\log^2\left(\frac{4}{3}\right)\right)\right)}{2\sqrt{2\log (n)}},\ b_n^\prime = \sqrt{2\log (n)}-\frac{\log (\log (n))+\log \left(4 \pi \log ^2(2)\right)}{2 \sqrt{2\log (n)}}$

잘 작동합니다 (가능한 한 간단합니다).

그림 3

하늘색 곡선은 근사 시퀀스 및 사용하여 대한 부분 그래프입니다 . 진한 빨간색 선은 매개 변수 및 반전 된 Gumbel 분포를 그래프로 나타 냅니다. 수렴은 명확합니다 (음수 대한 수렴 속도 는 눈에 띄게 느리지 만). $G_n$ $n=2, 2^6, 2^{11}, 2^{16}$ $a_n^\prime$ $b_n^\prime$ $\alpha$ $\beta$ $x$

참고 문헌

BV Gnedenko, 랜덤 시리즈에서 최대 항의 제한 분포에 관한 정보 . Kotz와 Johnson 에서 1992 년 Springer, Statistics Volume I : Foundations and Basic Theory의 혁신 . Norman Johnson이 번역 함.

— 우버
소스

위한 Alecos 게시물의 수식 @Vossler 수렴 으로서 . 이 같은 동작 큰 대 .

a_{n}

$a_n$

0

$0$

n \to \infty

$n\to\infty$

{(2 \log (n) - \log (2 π))}^{- 1 / 2}

$\left(2 \log(n) - \log(2\pi)\right)^{-1/2}$

n

$n$

— whuber

예, 사실입니다. 코멘트를 게시 한 직후에 이것을 깨달았으므로 즉시 삭제했습니다. 감사합니다!

— Vossler

@Jess 나는이 대답이 무엇보다도 "the"공식과 같은 것은 없다는 것을 이해하기를 바랐습니다. 과 대한 수많은 공식이

a_{n}

$a_n$

b_{n} .

$b_n.$

— whuber

@Jess 다른 접근법을 시연하는 것이이 답변을 쓰는 동기 였기 때문에 더 좋습니다. 나는 "답을 적는 데 쓸모가 없다"고 생각한 당신의 주장을 이해하지 못합니다. 왜냐하면 그것은 내가 여기서 한 일이기 때문입니다.

— whuber

@Jess이 대화는 전적으로 일방적이므로이 대화를 계속할 수 없습니다 : 나는 당신의 어떤 특징으로 쓰여진 것을 아직 인식하지 못했습니다. 내가 뒤에있는 동안 나는 종료하고 있습니다.

— whuber