랜덤 변수가 함수로 정의 된 이유는 무엇입니까?

임의 변수의 개념을 함수로 이해하는 데 문제가 있습니다. 나는 역학을 이해하지만 (나는 생각한다) 동기를 이해하지 못한다 ...

말 트리플 확률, 어디 , Borel-이다 그 간격 -algebra 및 정규 베그 측정 값이다. 하자 행 랜덤 변수 일 에 되도록 , , ..., 이므로 는 1에서 6까지의 값에 대해 불연속 분포를 갖습니다. $(\Omega, B, P)$ $\Omega = [0,1]$ $B$ $\sigma$ $P$ $X$ $B$ $\{1,2,3,4,5,6\}$ $X([0,1/6)) = 1$ $X([1/6,2/6)) = 2$ $X([5/6,1]) = 6$ $X$

그게 다 좋지만 원래 확률 트리플의 필요성을 이해하지 못합니다 ... 우리는 와 같은 것을 직접 만들 수 있습니다. 여기서 는 공간의 모든 적절한 대수이며 는 각 하위 집합에 측정 값 (요소 수) / 6을 할당하는 측정 값입니다. 또한 의 선택 은 임의적입니다. 또는 다른 세트 일 수 있습니다. $(\{1,2,3,4,5,6\}, S, P_x)$ $S$ $\sigma$ $P_x$ $\Omega=[0,1]$ $[0,2]$

내 질문은 그래서, 왜 임의의 건설 귀찮게 와 -algebra 및 측정을하고,에서 맵으로 임의의 변수를 정의 실제 라인에 -algebra? $\Omega$ $\sigma$ $\sigma$

probability random-variable measure-theory

— 레오 바스케스
소스

랜덤 변수는

에서

아니라

Ω

$\Omega$ 에서

까지의 함수입니다 . 요구 사항은

대해 랜덤 변수를 측정 할 수 있어야한다는 것 입니다.

R

$\mathbb{R}$

B

$\mathcal{B}$

R

$R$

B

$\mathcal{B}$

— mpiktas

답변:

훨씬 더 간단한 것이 충분할 때이 모든 기계가 왜 사용되는지 궁금하다면, 가장 일반적인 상황에 맞습니다. 그러나 Kolmogorov는 확률론의 측정-이론적 버전을 일부 경우 매우 추상적이고 복잡한 확률 공간을 처리 할 수있는 일반성 이론을 확립하기 위해 개발했습니다. 실제로, Kolmogorov의 확률에 대한 이론 이론적 기초는 궁극적으로 확률 적 도구가 원래 의도 된 적용 영역을 넘어 고조파 분석과 같은 영역에 적용될 수있게 해주었다.

처음에는 "기본" 대수 을 건너 뛰고 제안한대로 샘플 공간을 구성하는 이벤트에 확률 질량을 간단히 할당하는 것이 더 간단 해 보입니다 . 그들에 의해 정의 된 샘플 공간에 "유도-조치"와 함께 작동하도록 선택할 때마다 사실, probabilists 효과적으로 같은 일을 . 그러나 무한 치수 공간으로 들어갈 때 상황이 까다로워지기 시작합니다. 공정한 동전 뒤집기의 경우에 대해 (즉, 동전 뒤집기의 수가 무한대로 갈수록 머리의 비율이 임의로 1/2에 가깝다는) 큰 숫자의 강력한 법칙을 증명한다고 가정하십시오. 를 구성하려고 시도 할 수 있습니다. $\sigma$ $\Omega$ $P \circ X^{-1}$ $\sigma$ 형태의 무한 시퀀스의 집합 -algebra . 그러나 여기서 기본 공간을 는 것이 훨씬 더 편리하다는 것을 알 수 있습니다 . 그런 다음 실수의 이진 표현 (예 : )을 사용하여 동전 뒤집기 시퀀스 (1은 머리, 0은 꼬리)를 나타냅니다.이 바로 예는 Billingsley의 Probability and 측정 . $(H,T,H,...)$ $\Omega = [0,1)$ $0.10100...$

— charles.y.zheng
소스

감사! 그 책을 확인해 볼게요. 그러나

은 여전히 임의적이므로 ( 예 :

단위 간격

또는

은 모든 환경에서 작동하는 '선호'공간입니다. ? 아니면

와 같이 더 복잡한

이 유리한 상황이 있습니까?

Ω

$\Omega$

[0, 2)

$[0,2)$

[0, 1]

$[0,1]$

[0, 1)

$[0,1)$

Ω

$\Omega$

R^{2}

$R^2$

— 레오 바스케스

@ 레오 : 예. 연속 확률 론적 프로세스가 그 예입니다. 표준 예제는 Brownian 모션이며, 여기서 샘플 공간

은 모든 연속 실수 함수의 공간 인

로 간주 됩니다.

Ω

$\Omega$

C

$\mathcal{C}$

— 추기경

@NRH는, 예, 나는 말했다해야 취할 수 대신 수행한다 . 나는 깔개 밑에서 그것을 닦으려고 노력했다.

— 추기경

@ Cardinal, @Leo의 의견 에서 모든 상황에서

이 '선호' 되는지 물었습니다 . 나는 단지 IMO에 그러한

이 없으며 일반적으로

에 대해 아무것도 요구하지 않는 것이 유리하다는 것을 말하고 있습니다. 특정 예제로 작업하려는 경우 하나의 특정

을 선택해야하는 이유가있을 수 있습니다 . 그러나 '인간학'은

에 대한 확률 측정으로서 브라운 운동 의 존재 가 확립되어야 한다는 양탄자 아래에서 휩쓸고 있다.

[0, 1]

$[0,1]$

Ω

$\Omega$

Ω

$\Omega$

Ω

$\Omega$

C

$\mathcal{C}$

— NRH

@NRH, 오늘 마음이 느려서 죄송합니다. @Leo의 이전 주석에 선호하는 참조 를 연결하지 못했습니다 . 감사. "길잡이"발언과 관련하여 필자의 요점은 다른 구성에서는 샘플 경로의 연속성이 정리 인 반면, 아이덴티티 맵을 사용한

기반 구성에서는 팽팽하게 표현된다는 것이다. 물론, BM이 이런 식으로 구성 될 수 있다는 사실이 먼저 보여 져야합니다. 그러나 그것은 요점 옆에 약간 있습니다.

C

$\mathcal{C}$

— 추기경

대수 와 관련된 문제 는 수학적인 미묘함이며, 왜 우리가 배경 공간이 필요한지 또는 그렇지 않은지를 설명하지 않습니다 . 실제로, 나는 배경 공간이 필요하다는 강력한 증거가 없다고 말할 것입니다. 어떤 확률 설치의 경우 샘플 공간입니다 -algebra 및 확률 측정, 관심이있는 , 더 추상적 인 이유는 우리가 원하는 것이 없다 이미지 척도로 측정 가능한 맵 $\sigma$ $(E, \mathbb{E}, \mu)$ $E$ $\mathbb{E}$ $\sigma$ $\mu$ $\mu$ $\mu$ . $X : (\Omega, \mathbb{B}) \to (E, \mathbb{E})$

그러나 추상적 인 배경 공간을 사용하면 수학적으로 편리 하므로 많은 결과가보다 자연스럽고 직관적으로 나타납니다. 목표는 항상 에 대해 뭔가를 말하는 것입니다. $\mu$ 의 분포 인 에 것이지만 관점에서 더 쉽고 명확하게 표현 될 수 있습니다 . $X$ $X$

중앙 제한 정리에 의해 예가 제공됩니다. 만약 진정한 의미와 가치 IID된다 이고 분산이 그 CLT 말한다 $X_1, \ldots, X_n$ $\mu$ $\sigma^2$ 여기서는 표준 정규 분포에 대한 분포 함수입니다. 의 분포가인 경우 측정 값의 해당 결과는

P (\frac{\sqrt{n}}{σ} (\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{i} - ξ) \leq x) \to Φ (x)

$P\left(\frac{\sqrt{n}}{\sigma} \left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i - \xi\right) \leq x \right) \to \Phi(x)$

Φ

$\Phi$

X_{i}

$X_i$

μ

$\mu$

. 용어의 일부 설명은 필요로한다

우리는 의미

의 배속 회선

함수

는 선형 함수

이며

ρ_{\sqrt{n} / σ} \circ τ_{ξ} \circ ρ_{1 / n} (μ^{* n}) ((- \infty, x]) \to Φ (x)

$\rho_{\sqrt{n}/\sigma} \circ \tau_{\xi} \circ \rho_{1/n}(\mu^{*n})((-\infty, x]) \to \Phi(x)$

μ^{* n}

$\mu^{*n}$

n

$n$

μ

$\mu$

ρ_{c}

$\rho_c$

ρ_{c} (x) = c x

$\rho_c(x) = cx$

는 번역

τ_{ξ}

$\tau_{\xi}$

입니다. 아마도 두 번째 공식에 익숙해 질 수도 있지만 모든 것을 숨기는 데 효과적입니다.

τ_{ξ} (x) = x - ξ

$\tau_{\xi}(x) = x - \xi$

문제는 CLT와 관련된 산술 변환 이 임의 변수로 명확하게 표현되지만 측정 측면에서는 잘 번역되지 않는다는 것입니다.

— NRH
소스

(+1) 좋은 설명입니다. 이전 표기법이 인기가있는 또 다른 이유는 더 자연스럽게 응용 프로그램의 직관적 인 개념으로 해석하기 때문입니다. (몇 시간 전에 투표함)

— 추기경

@ cardinal, 그 점을 더 명확하게 해 주셔서 감사합니다. 확률 척도의 컨볼 루션이 아니라 변수의 합계로 생각하고 논쟁하는 것이 더 자연스러운 것처럼 보이며, 우리는 수학이 그것을 반영하기를 원합니다.

— NRH

나는 최근에 랜덤 변수 대해 생각하는 새로운 방법을 우연히 발견했습니다. $X$ as well as about the background space $\Omega$ . I am not sure whether this is the question you were looking for, as it is not a mathematical reason, but I think it provides a very neat way to think of RVs.

Imagine a situation in which we throw a coin. This experimental setup consists of a Set of possible initial conditions that include the physical description of how the coin is tossed. The background space consists of all those possible initial conditions. For simplicities sake we might assume that the coin tosses only vary in velocity, then we would set $\Omega = [0,v_{max}]$

$X$ $\omega \in \Omega$

$X:([0,v_{max}], B\cap [0,v_{max}], Q)\to (\{0,1\}, 2^{\{0,1\}})$ the measure $Q$ would then correspond to the probability measure over the initial conditions, which together with the dynamics of the experiment represented by $X$ determines the probability distribution over the outcomes.

For reference of this idea you can look at Tim Maudlin`s or Micheal Strevens chapters in "Probabilties in Physics" (2011)

— Sebastian
소스