두 포아송 랜덤 변수의 비율 분포는 무엇입니까?

임의 변수에 관한 질문이 있습니다. 두 개의 랜덤 변수 와 가 있다고 가정 해 봅시다 . 의 말을하자 포아송 매개 변수와 함께 배포되는 , 및 포아송 매개 변수와 함께 배포되는 . $X$ $Y$ $X$ $\lambda_1$ $Y$ $\lambda_2$

에서 골절을 구축하고 이를 임의의 변수 , 이것이 어떻게 분포되고 평균은 무엇입니까? 그것은이다 ? $X/Y$ $Z$ $\lambda_1/\lambda_2$

random-variable poisson-distribution

— 마크 돌라
소스

참조를 찾을 때이 문제가 발생했습니다. Poisson 비율에 대한 추론은 잦은 주의자 ( Nelson, 1970, "2 개의 Poisson 평균과 Poisson 예측 간격의 비율에 대한 신뢰 구간" )와 베이지안 모두에 대해 매우 간단합니다 (Lindley, 1965). 0 분모에도 문제가 없습니다!

— Frank Tuyl

원래의 질문자 및 다른 사람들은 에 기대 값 있다는 점에 관심이있을 수 있습니다 . 응용 프로그램에 따라 보다 더 많이 사용될 수 있습니다 . 자세한 내용은 DOI : 10.1039 / C2JA10205F의 "동위 원소 비율의 통계적 편향"이라는 Journal of Analytical Atomic Spectrometry, 28 , 52 의 논문을 참조하십시오 .

X / (Y + 1)

$X/(Y+1)$

(λ_{1} / λ_{2}) (1 - e^{- λ_{2}})

$(\lambda_1/\lambda_2) (1-e^{-\lambda_2})$

X / Y

$X/Y$

이것은 천문학에서 자주 발생하는 문제입니다. 베이지안 솔루션은 Park et al. (2006, Astrophysical Journal, v652, 610-628, 베이지안 경도 비율 추정 : 모델링 및 계산 ). 처리시 배경 오염이 포함됩니다.

— user78543

초록에서 그들은 OP의 질문을 다루고 있음이 분명하지 않습니다. 이 논문은 두 포아송 랜덤 변수의 비율 분포와 어떤 관련이 있습니까?

— Andy

ttu-ir.tdl.org/ttu-ir/bitstream/handle/2346/59954/…

— kjetil b halvorsen

답변:

나는 당신이 그것에 문제가 있다고 생각합니다. 변수 Y는 0을 가지므로 X / Y는 정의되지 않은 값을 가지므로 분포를 얻지 못합니다.

— bill_080
소스

+1 맞습니다. 그러나 (혼동 가능성을 없애기 위해) 문제는 가 과 같을 수 있다는 것만이 아닙니다 . 그것은 양의 확률로 과 같을 수 있다는 것 입니다. (예를 들어, 분모가 과 같더라도 몫의 몫에는 분포가 있습니다 .) 따라서 는 양의 확률로 정의되지 않으므로 평균 (및 다른 모멘트)도 정의되지 않습니다.

Y

$Y$

0

$0$

0

$0$

0

$0$

X / Y

$X/Y$

— whuber

+1이지만 허위 발견 률에 관한 문헌에서 에는 문제가 없습니다. 여기서 는 진양 수 이고 는 총 양수 :-)입니다. 관습 적으로 항상 0에서 0은 0과 같다는 것을 이해합니다.

X / Y

$X/Y$

X

$X$

Y

$Y$

— NRH

@Mark : 새로운 질문으로 물어보고 달성하려는 것에 대해 구체적으로 설명하는 것이 좋습니다.

— bill_080

@NRH 귀하의 경우 는 에 크게 의존 합니다. 양수 : 0 비율의 확률은 0이 아니기 때문에 완전히 변경됩니다.

X

$X$

Y

$Y$

— whuber

@ whuber, 물론입니다. 지적 해 주셔서 감사합니다. 나는 그 문제를 의미있게 만들기 위해 언급되지 않은 규칙이 있다고 생각했습니다. 그러나 위의 @MarkDollar의 의견에서 시작한 것은 아닙니다.

— NRH

비율이 실제로 잘 정의 된 측정 가능 세트가 아님을 인식하여 비율을 적절하게 측정 가능한 설정으로 재정의합니다. 여기서 의 합은 , 및 는 독립 포아송 변수입니다. 밀도는 라돈-니코 디움 정리에서 따릅니다.

P [\frac{X}{Y} \leq r] := P [X \leq r Y] = \sum_{y = 0}^{\infty} \sum_{x = 0}^{⌊ r y ⌋} \frac{λ_{2}^{y}}{y!} e^{- λ_{2}} \frac{λ_{1}^{x}}{x!} e^{- λ_{1}}

$\mathbb{P}\left[\frac{X}{Y} \leq r \right] := \mathbb{P}\left[X \leq r Y\right]\\ = \sum_{y = 0}^\infty \sum_{x=0}^{\left\lfloor ry \right\rfloor} \frac{\lambda_{2}^y }{y!}e^{-\lambda_2} \frac{\lambda_{1}^x }{x!}e^{-\lambda_1}$

r > 0

$r > 0$

X

$X$

Y

$Y$

— 아론 쉘든
소스

가 제로 잘린 포아송 분포에서 나온다고 가정합니다 . 대답은 다음과 같을

Y

$Y$

— 까요?