비율 데이터 변환 : arcsin square root가 충분하지 않은 경우

백분율 / 비율 데이터에 대한 아크 신 제곱근 변환에 대한 (강한?) 대안이 있습니까? 현재 작업중 인 데이터 세트 에서이 변환을 적용한 후에도 현저한 이분산성이 남아 있습니다. 즉 잔차 대 적합치의 플롯은 여전히 ​​마름모꼴입니다.

의견에 응답하기 위해 편집 : 데이터는 10 %의 배수로 엔 다우먼트의 0-100 %를 투자 할 수있는 실험 참가자의 투자 결정입니다. 또한 서수 로지스틱 회귀를 사용하여 이러한 데이터를 살펴 보았지만 유효한 glm이 생성하는 결과를보고 싶습니다. 또한 arcsin square root가 내 분야의 모든 솔루션에 단일 크기로 사용되는 것으로 보이며 채용 된 대안을 찾지 못했기 때문에 미래의 작업에 유용한 대답을 볼 수있었습니다.

확실한. John Tukey는 EDA 에서 (증가, 일대일) 변환 패밀리를 설명합니다 . 다음 아이디어를 기반으로합니다.

1. 매개 변수에 의해 제어되는대로 테일 (0과 1을 향하여)을 확장 할 수 있습니다.

2. 그럼에도 불구하고 중간 ( $1/2$ ) 근처의 원래 (변환되지 않은) 값을 일치 시키므로 변환을보다 쉽게 ​​해석 할 수 있습니다.

3. 약 재 발현 대칭하려면 $1/2.$ 경우이고 $p$ 재 표현 인 $f(p)$ 후 $1-p$ 재 표현 될 것이다 $-f(p)$ .

당신이 어떤 증가 단조 함수로 시작하는 경우 $g: (0,1) \to \mathbb{R}$ 에서 미분 $1/2$ 는 두 번째와 세 번째 기준을 충족 조정할 수 있습니다 : 단지 정의

p 를 1 - p로 바꾸면 빼기가 역전 되므로 분자는 명시 적으로 대칭 (기준 $(3)$ ) 입니다. 있는지 ( 2 ) 분모 만들기에 필요한 인자 정확하게 만족하고, 주 F ' ( 1 / 2 ) = 1 리콜 그 유도체 리니어하게 근사화 된 함수와 함수의 로컬 동작; 의 기울기 1 = 1 : 1이 되어 있음을 의미 F ( 쪽 ) ≈ 쪽$p$$1-p$$(2)$$f^\prime(1/2)=1.$$1=1:1$$f(p)\approx p$(플러스 정수 $-1/2$ ) $p$ 충분히 확대하는 것이다 $1/2.$ 이 원래의 값이되는 감각 "중앙 근방 일치입니다."

Tukey는 이것을 "폴딩 된" $g$ 버전이라고 부릅니다 . 그의 가족은 전원 구성 및 변환 로그 $g(p) = p^\lambda$ 때, $\lambda=0$ , 우리가 고려 $g(p) = \log(p)$ .

몇 가지 예를 살펴 보겠습니다. 하면 $\lambda = 1/2$ 우리가 접힌 루트 또는 GET "froot를" $f(p) = \sqrt{1/2}\left(\sqrt{p} - \sqrt{1-p}\right)$. 하면$\lambda = 0$우리가 절첩 대수 또는 "매질"$f(p) = (\log(p) - \log(1-p))/4.$ 분명히 이것은 단지 정수 배수 인로짓변환,$\log(\frac{p}{1-p})$.

이 그래프에서 파란 선은 대응하는 $\lambda=1$ , 중간에 적색 라인 $\lambda=1/2$ 및 행 극단적 녹색 라인 $\lambda=0$ . 점선으로 된 금선은 아크 사인 변환입니다. $\arcsin(2p-1)/2 = \arcsin(\sqrt{p}) - \arcsin(\sqrt{1/2})$. 기울기 (기준$(2)$)의 "일치"는모든 그래프가p=1/2근처에서 일치하도록합니다.$p=1/2.$

매개 변수 $\lambda$ 의 가장 유용한 값은 $1$ 과 $0$ 사이 입니다. (음수 값이 $\lambda$ 인 경우 꼬리를 더 무겁게 만들 수는 있지만이 용도는 드.니다.) $\lambda=1$ 은 최근 값 ( $f(p) = p-1/2$ )을 제외하고는 아무것도하지 않습니다 . 으로 $\lambda$ 0에 가까워 정신과의 꼬리쪽으로 더 당겨받을 $\pm \infty$ . 이것은 기준 # 1을 만족시킵니다. 따라서 적절한 $\lambda$ 값을 선택 하면 꼬리에서이 재 표현의 "강도"를 제어 할 수 있습니다.

포함하는 한 가지 방법은 인덱스 변환을 포함시키는 것입니다. 한 가지 일반적인 방법은 그래서, 어떤 대칭 (역) 누적 분포 함수를 사용하는 및 F ( X는 ) = 1 - F ( - X ) . 한 예는 자유도 가 ν 인 표준 학생 분포 입니다. 매개 변수 v 는 변환 된 변수가 얼마나 빨리 무한대로 방황하는지 제어합니다. v = 1 을 설정 하면 arctan 변환이 있습니다.$F(0)=0.5$$F(x)=1-F(-x)$$\nu$$v$$v=1$

이것은 아크 사인보다 훨씬 더 극단적이고 로짓 변환보다 더 극단적입니다. 과 t- 분포를 사용하면 로짓 변환을 대략적으로 근사 할 수 있습니다 . 따라서 어떤 식 으로든 로짓과 프로 빗 ( ν = ∞ ) 변환 사이의 대략적인 링크와 더 극단적 인 변환으로의 확장을 제공합니다.$\nu\approx 8$$\nu=\infty$

이러한 변환의 문제점 은 관찰 된 비율이 1 또는 0 일 때 를 제공한다는 것 입니다. 따라서 어떤 식 으로든 축소해야합니다. 가장 간단한 방법은 + 1 "성공"및 + 1 "실패"입니다.$\pm\infty$$1$$0$$+1$$+1$