주기적인 데이터와주기적인 데이터를 구분하기위한 테스트

도메인 과 함께 알려지지 않은 함수 가 있다고 가정 하면 연속성과 같은 합리적인 조건을 충족시키는 것으로 알고 있습니다. 나는의 정확한 값을 알 F를 일부 등거리 샘플링 지점에서 (데이터가 시뮬레이션에서 오기 때문에) t_i = t_0 + iΔt 와 i∈ {1, ..., n \} \ , 나는 모든 캡처 충분히 좋은 것으로 가정 할 수있는 관련성의 측면 (F)는 , 예를 들어, I는 많아야 하나의 로컬 극값이 있음을 추정 할 수 F 개의 샘플링 포인트들 사이에서이. 내 데이터가 f 가 정확히 주기적인지, 즉 ∃τ를 준수하는지 여부를 알려주는 테스트를 찾고 있습니다 . f (t + τ) = f (t) \, ∀ \, t$f$$ℝ$$f$$t_i=t_0 + iΔt$$i∈\{1,…,n\}$$f$$f$$f$$∃τ: f(t+τ)=f(t) \,∀\,t$예를 들어, Δt <τ <n · Δt 와 같이주기 길이가 다소 공명 $Δt < τ < n·Δt$할 수 있지만 (필요한 경우 더 강한 제약을 가할 수 있음) 생각할 수 있습니다.

다른 관점에서, 나는 데이터 ${x_0, …, x_n}$ 있으며 f (t_i) = x_i ∀ i 와 같은 주기적 함수 $f$ (위와 같은 충족 조건)가 존재 하는지에 대한 질문에 답하는 테스트를 찾고 있습니다 .$f(t_i)=x_i ∀ i$

중요한 점은 $f$ 는 최소한주기 성과 매우 가깝다는 것입니다 (예 $f(t) := \sin(g(t)·t)$ 또는 $f(t) := g(t)·\sin(t)$ 와 $g'(t) ≪ g(t_0)/Δt$ 소량 씩 데이터 포인트를 변경하는 데이터를 준수하기 위해 충분할 수있는 정도) $f$ 정확하게 정기적 인. 따라서 푸리에 변환 또는 제로 크로싱 분석과 같은 주파수 분석을위한 표준 도구는별로 도움이되지 않습니다.

내가 찾고있는 테스트는 확률이 높지 않을 것입니다.

그런 테스트를 직접 디자인하는 방법에 대한 아이디어가 있지만 바퀴를 재발 명하지 않으려 고합니다. 그래서 기존 테스트를 찾고 있습니다.

: 내가 말했듯이, 나는 실현 정제 지금 게시에 대한 논문, 쓴, 어떻게이 작업을 수행하는 생각을했다 (2015) 카오스 (25), 113,106 - ArXiv에 프리 프레스를 .

조사 된 기준은 질문에서 스케치 한 것과 거의 동일합니다. 시점에서 샘플링 된 데이터 주어지면 테스트에서 함수 가 있는지 여부를 결정합니다 및 :$x_1, \ldots, x_n$$t_0, t_0 + Δt, \ldots, t_0 + nΔt$$f: [t_0, t_0 + Δt] → ℝ$$τ ∈ [2Δt,(n-1)Δt]$

• $f(t_0 + iΔt)=x_i\quad \forall i∈\{1,…,n\}$
• $f(t+τ)=f(t) \quad∀t∈[t_0, t_0 + Δt-τ]$
• $f$ 는 시퀀스 보다 국소 극한값을 갖지 않으며 , 가능한 최대 하나의 극단은 각각 의 시작과 끝에 가깝습니다 .$x$$f$

시뮬레이션 방법의 수치 오류와 같은 작은 오류를 설명하기 위해 테스트를 수정할 수 있습니다.

^{내 논문이 왜 그런 시험에 관심이 있었는지 대답하기를 바랍니다.}

이산 푸리에 변환 (DFT)을 사용하여 데이터를 주파수 영역 으로 변환합니다 . 데이터가 완벽하게주기적인 경우 값이 높은 주파수 빈이 정확히 하나 있고 다른 빈은 0이됩니다 (또는 0에 가까우면 스펙트럼 누출 참조).

주파수 분해능은 됩니다. 따라서 검출 정밀도의 한계가 설정됩니다.$\frac{\text{sampling frequency}}{\text{Number of samples}}$

실제주기 신호를 알고 있다면 계산

$\text{difference} = \Big|\text{theoretical data} - \text{measured data}\big|$

그런 다음 의 요소를 합산하십시오 . 임계 값을 초과하면 (부동 소수점 산술의 오류 고려) 데이터는 주기적이지 않습니다.$\text{difference}$