시계열 안정성 테스트

주어진 시계열이 안정화되었을 때 테스트를위한 표준 (또는 최상의) 방법이 있습니까?

동기 부여

값을 출력하는 확률 적 동적 시스템이 있습니다. $x_t$ 매 시간마다 $t \in \mathbb{N}$. 이 시스템은 시간 단계까지 일부 과도 현상이 있습니다$t^*$그런 다음 약간의 오류가 발생하여 평균 값 주위에서 안정화됩니다 . , 또는 오류 중 어느 것도 알려지지 않았습니다 . 나는 (예 를 들어 주위의 가우시안 오류와 같은) 몇 가지 가정을 기꺼이 할 것이지만, 내가 요구하는 선험적 가정이 적을수록 좋습니다. 내가 확실히 아는 것은 시스템이 수렴하는 안정 점이 하나 뿐이며 안정 점 주위의 변동이 과도기 동안의 변동보다 훨씬 작다는 것입니다. 프로세스는 또한 은 근처에서 시작 하여 쪽으로 가정 할 수 있습니다 ( 주위에서 안정화되기 전에 약간 오버 슈트 될 수 있음 ).$x^*$$t^*$$x^*$$x^*$$x_0$$0$$x^*$$x^*$

데이터는 시뮬레이션에서 오는 것, 그리고 (I는 과도 기간에 관심이 있기 때문에) 내 시뮬레이션을위한 정지 조건으로 안정성 테스트가 필요합니다.$x_t$

정확한 질문

유한 한 대한 시간 값 에만 접근 할 수 있다면 확률 적 역학 시스템이 어떤 점 주위에서 안정화되었다고 합리적으로 정확하게 말할 수있는 방법이 있습니까? 테스트에서 , 및 주변의 오류 도 반환하는 경우 보너스 포인트 입니다. 그러나 시뮬레이션이 완료된 후이를 알아낼 수있는 간단한 방법이 있기 때문에 반드시 필요한 것은 아닙니다.$x_0 ... x_T$$T$$x^*$$x^*$$t^*$$x^*$

순진한 접근

처음으로 내 마음에 떠오른 순진한 접근법 (예를 들어 일부 신경망의 승리 조건으로 사용 된 것으로 보임)은 매개 변수 와 를 선택하는 것 입니다. 마지막 시간 단계에 대해 두 점 와 가 없으면 같이 안정 되면 결론을 내립니다. 이 방법은 쉽지만 매우 엄격하지는 않습니다. 또한 좋은 가치를 추측하도록 강요합니다.$T$$E$$T$$x$$x'$$x' - x > E$$T$ 와$E$ 해야한다.

과거의 일부 단계를 되돌아 보거나 (어쩌면 오래된 데이터를 할인하는 방법으로)이 데이터에서 표준 오류를 계산 한 다음 다른 단계의 단계 (또는 다른 단계)가 있는지 테스트하는 더 나은 방법이 있어야합니다. 할인 제도) 시계열이이 오류 범위를 벗어나지 않았습니다. 나는 약간 덜 순진하지만 여전히 간단한 전략을 답으로 포함 시켰다.

도움이나 표준 기술에 대한 언급은 높이 평가됩니다.

노트

나는 또한이 질문을 MetaOptimize에 그대로 그리고 Computational Science 에 대한 더 시뮬레이션 된 설명으로 교차 게시했다 .

이 짧은 발언은 완전한 대답과는 거리가 멀며 몇 가지 제안 만 있습니다.

• 당신이 행동에 의해, 다른 시간의 두 기간이있는 경우 다른를 나는 (이 특정 상황에서 관련이없는) 평균 또는 분산 또는 시계열 객체의 다른 예상되는 특성 (모델 매개 변수 중 하나의 차이를 의미$x_t$귀하의 경우), 구조적 (또는 전염병) 변화 의 시간 (간격)을 추정하는 모든 방법을 시도 할 수 있습니다 .
• R에는 선형 회귀 모델의 구조적 변화를위한 strucchange 라이브러리 가 있습니다. 선형 회귀 매개 변수의 변화를 테스트하고 모니터링하는 데 주로 사용되지만 시계열의 일반적인 구조적 변화에 일부 통계를 사용할 수 있습니다.

내가 당신의 질문을 읽을 때 "안정 점 주변의 변동은 과도 기간 동안의 변동보다 훨씬 작습니다."내가 그것을 벗어나는 것은 오류의 변화가 언제 그리고 언제 변했는지를 감지하는 요청입니다! 그것이 목표라면 연구 나 R. Tsay "시계의 특이 치, 수준 변화 및 변화 변화", Journal of Forecasting Vol 7, 1-20 (1988)을 검토하는 것이 좋습니다. 나는이 분야에서 상당한 노력을 기울였으며 좋은 분석 결과를 얻는 데 매우 생산적이라는 것을 알게되었습니다. 독립적 인 관찰과 펄스 이상 치가없고 / 또는 레벨 시프트 나 로컬 시간 추세 및 시간 불변의 파라미터가 없다고 가정하는 다른 접근법 (예 : OL / 선형 회귀 분석)은 제 의견으로는 불충분합니다.

나는 그 질문에 대해 더 많이 생각하고 있었고 사람들이 그 방향으로 더 많은 아이디어를 알기를 희망하여 순진한 접근 방식을 약간 향상시킬 것이라고 생각했습니다. 또한 변동의 크기를 알 필요가 없습니다.

그것을 구현하는 가장 쉬운 방법은 두 개의 매개 변수를 사용하는 것입니다. $(T,\alpha)$. 허락하다$y_t = x_{t + 1} - x_{t}$ 타임 스텝 사이의 시계열 변화 $t$ 과 $t + 1$. 시리즈가 안정적 일 때$x^*$, $y$약간의 표준 오류와 함께 제로 주위에서 변동합니다. 여기서는이 오류가 정상이라고 가정합니다.

마지막을 $T$, $y_t$자신감 있고 가우시안에 적합 $\alpha$Matlab의 normfit 과 같은 기능을 사용합니다 . 적합은 우리에게 의미를 줄 것입니다$\mu$ 와 $\alpha$ 평균에 대한 신뢰 오차 $E_\mu$ 그리고 표준 편차 $\sigma$ 해당 오류 $E_\sigma$. 만약$0 \in (\mu - E_\mu, \mu + E_\mu)$그런 다음 수락 할 수 있습니다. 더 확실하게하려면 다음을 다시 정규화 할 수 있습니다.$y_t$에 의해 $\sigma$ 당신은 발견했습니다 (따라서 표준 편차가 생깁니다. $1$)에서 Kolmogorov-Smirnov 테스트로 테스트$\alpha$ 신뢰 수준.

이 방법의 장점은 순진한 접근 방식과 달리 평균 주위의 열 변동의 크기에 대해 더 이상 알 필요가 없다는 것입니다. 한계는 여전히 임의의$T$우리는 잡음에 대한 정규 분포를 가정해야했습니다. 이것이 할인으로 일부 가중 평균으로 수정할 수 있는지 확실하지 않습니다. 다른 분포에서 잡음을 모델링 할 것으로 예상되면 normfit 및 Kolmogorov-Smirnov 검정은 해당 분포에 대한 동등 물로 대체해야합니다.

상호 통합을 위해 뒤로 롤링 창으로 테스트하는 것을 고려할 수 있습니다. x장기 평균 .

언제 x평균을 돌파 , 희망에 따라 창으로 표시된 Augmented Dickey Fuller 검정 또는 선택한 임의의 공적분 검정이 두 계열이 공적분되었음을 알 수 있습니다. 두 시리즈가 서로 떨어져있는 전환 기간에 도달하면 테스트를 통해 창 시리즈가 통합되지 않았 음을 알 수 있습니다.

이 체계의 문제점은 작은 창에서 공적분을 탐지하기가 어렵다는 것입니다. 그리고 너무 큰 창은 전환 기간의 작은 세그먼트 만 포함하면 창 시리즈가 상호 통합되어서는 안된다는 것을 알려줍니다. 그리고 짐작할 수 있듯이 "올바른"창 크기를 미리 알 수있는 방법이 없습니다.

내가 말할 수있는 것은 합리적인 결과를 얻는 지 확인하기 위해 그것을 가지고 놀아야한다는 것입니다.

시뮬레이션이 실행됨에 따라 분할은 마지막 2N 점을 상반기와 후반으로 나눕니다. 일련의 변화를 계산$m_{t+1} - m_{t}$)는 각 반에 대한 관심 측정 항목입니다. 이 두 델타 세트의 분포가 정상인지 테스트합니다. 가장 쉬운 방법은 각 분포의 cdf를 계산하여 최근 분포를 "관측"으로 표시하고 이전 분포를 "예상"으로 표시하는 것입니다. 그런 다음 각 십분 위에서 메트릭 값에 대해 Pearson의 카이 제곱 테스트를 수행하십시오.

명백한 칼만 필터 솔루션 외에도 웨이블릿 분해를 사용하여 시간 및 주파수 지역화 된 전력 스펙트럼을 얻을 수 있습니다. 이것은 당신의 가정을 원치 않지만 만족 스럽지만 불행히도 시스템이 정해지는 시점에 대한 공식적인 테스트는 제공하지 않습니다. 그러나 실제 응용 프로그램의 경우에는 문제가 없습니다. 고주파의 에너지가 죽는 순간과 아버지 웨이블릿 계수가 안정화되는 시점을 살펴보십시오.