AR의 정상성에 대한 증거 (2)


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평균 중심 AR (2) 공정을 고려

Xt=ϕ1Xt1+ϕ2Xt2+ϵt
여기서 ϵt 되는 표준 백색 잡음 프로세스. 간단히하기 위해 ϕ1=b a 라고하겠습니다 . 내가 얻은 특성 방정식의 근본을 중심으로 교재의 고전적인 조건은 다음과 같습니다.ϕ2=a
z1,2=b±b2+4a2a
{|a|<1a±b<1
나는 루트의 불평등, 즉 시스템 수동으로 (Mathematica의 도움으로) 풀려고했습니다. 단지 획득 ± B를 < 1 세번째 조건 수 ( | A는 | < 1 )을 추가 회수 될 점점 서로 앞의 두 솔루션 + B + - B < 2 < 1 일부 표시 사항을 통해이되고 있음 | | < 1
{|bb2+4a2a|>1|b+b2+4a2a|>1
a±b<1
|a|<1++<2<1||<1? 아니면 해결책이 없습니까?

답변:


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내 생각에 당신이 떠나는 특성 방정식은 내 것과 다릅니다. 동의 여부를 확인하기 위해 몇 가지 단계를 진행하겠습니다.

방정식

λ2ϕ1λϕ2=0

경우 "표준"특성 방정식의 루트 1ϕ1ϕ22=0 및 설정 1=λ , 다음과 같은 기준을 재기록에서 디스플레이를 획득한다 :

1ϕ1ϕ22=02ϕ11ϕ2=0λ2ϕ1λϕ2=0
따라서,의 안정성 다른 조건R(2)제 1 표시 모두 뿌리는 것이다내부단위 원,| z| >1| λ| =| z1| <1.아르 자형(2)|z|>1|λ|=|z1|<1

이 표현을 사용 하여 A R ( 2 ) 프로세스 의 정상 삼각형 을 도출합니다. 즉, 다음 세 가지 조건이 충족되면 A R ( 2 ) 가 안정적입니다. AR(2)AR(2)

  1. ϕ2<1+ϕ1
  2. ϕ2<1ϕ1
  3. ϕ2>1

첫 번째 디스플레이의 루트를 (실제라면) λ 1 , 2 = ϕ 1 ± √로 쓸 수 있음을 상기하십시오.

λ1,2=ϕ1±ϕ12+4ϕ22
는 처음 두 조건을 찾습니다.

그런 다음 AR(2) 는 정지 상태입니다. |λ|<1 따라서, (만약 λi 진짜)

1<ϕ1±ϕ12+4ϕ22<12<ϕ1±ϕ12+4ϕ2<2
개의 더 큰λi에 의해 제한된다ϕ1+ϕ12+4ϕ2<2또는 :
ϕ1+ϕ12+4ϕ2<2ϕ12+4ϕ2<2ϕ1ϕ12+4ϕ2<(2ϕ1)2ϕ12+4ϕ2<44ϕ1+ϕ12ϕ2<1ϕ1
유사하게,ϕ2<1+ϕ1입니다.

경우 λi 후, 복잡 ϕ12<4ϕ2

λ1,2=ϕ1/2±i(ϕ12+4ϕ2)/2.
λ2=(ϕ1/2)2+((ϕ12+4ϕ2)/2)2=ϕ12/4(ϕ12+4ϕ2)/4=ϕ2.
This is stable if |λ|<1, hence if ϕ2<1 or ϕ2>1, as was to be shown. (The restriction ϕ2<1 resulting from ϕ22<1 is redundant in view of ϕ2<1+ϕ1 and ϕ2<1ϕ1.)

Plotting the stationarity triangle, also indicating the line that separates complex from real roots, we get

enter image description here

Produced in R using

phi1 <- seq(from = -2.5, to = 2.5, length = 51) 
plot(phi1,1+phi1,lty="dashed",type="l",xlab="",ylab="",cex.axis=.8,ylim=c(-1.5,1.5))
abline(a = -1, b = 0, lty="dashed")
abline(a = 1, b = -1, lty="dashed")
title(ylab=expression(phi[2]),xlab=expression(phi[1]),cex.lab=.8)
polygon(x = phi1[6:46], y = 1-abs(phi1[6:46]), col="gray")
lines(phi1,-phi1^2/4)
text(0,-.5,expression(phi[2]<phi[1]^2/4),cex=.7)
text(1.2,.5,expression(phi[2]>1-phi[1]),cex=.7)
text(-1.75,.5,expression(phi[2]>1+phi[1]),cex=.7)

this is a very detailed explanation.
Marco

@Christoph: Is there a typo in the answer? Look at equation for λ2. Also, what do you mean by square of a complex number? If z=a+bi then z2=a2b2+2iab. How do you say square of a complex number is "square of the real plus the square of the imaginary part"
shani

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Thanks, quite right! I was referring to the sqaured modulus, see the edit.
Christoph Hanck

@ChristophHanck, what is your take on Aksakal's answers in these two threads: 1 and 2? Are they in conflict with your answer, and if so, what is the correct answer?
Richard Hardy

I think he is quite right when defining weak stationarity as constancy of the first two moments. Often, and also in the present thread, "stationarity" and "existence of a causal representation", i.e., a summable MA() representation without dependence on the future, are conflated. What my answer therefore more precisely shows is conditions for the existence of the latter.
Christoph Hanck
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