내 생각에 당신이 떠나는 특성 방정식은 내 것과 다릅니다. 동의 여부를 확인하기 위해 몇 가지 단계를 진행하겠습니다.
방정식
λ2− ϕ1λ − ϕ2= 0
경우 지 "표준"특성 방정식의 루트 1 − ϕ1지− ϕ2지2= 0 및 설정 지− 1= λ , 다음과 같은 기준을 재기록에서 디스플레이를 획득한다 :
1 − ϕ1지− ϕ2지2⇒ z− 2− ϕ1지− 1− ϕ2⇒ λ2− ϕ1λ -ϕ2===000
따라서,의 안정성 다른 조건R(2)제 1 표시 모두 뿌리는 것이다내부단위 원,| z| >1⇔| λ| =| z−1| <1.A R ( 2 )| 지|>1⇔|λ|=|z−1|<1
이 표현을 사용 하여 A R ( 2 ) 프로세스 의 정상 삼각형 을 도출합니다. 즉, 다음 세 가지 조건이 충족되면 A R ( 2 ) 가 안정적입니다. AR(2)AR(2)
- ϕ2<1+ϕ1
- ϕ2<1−ϕ1
- ϕ2>−1
첫 번째 디스플레이의 루트를 (실제라면) λ 1 , 2 = ϕ 1 ± √로 쓸 수 있음을 상기하십시오.
λ1,2=ϕ1±ϕ21+4ϕ2−−−−−−−√2
는 처음 두 조건을 찾습니다.
그런 다음 AR(2) 는 정지 상태입니다. |λ|<1 따라서, (만약 λi 진짜)
− 1 < ϕ1± ϕ21+4ϕ2−−−−−−−√2⇒−2<ϕ1±ϕ21+4ϕ2−−−−−−−√<<12
개의 더 큰λi에 의해 제한된다ϕ1+ϕ21+4ϕ2−−−−−−−√<2또는 :
ϕ1+ϕ21+4ϕ2−−−−−−−√⇒ϕ21+4ϕ2−−−−−−−√⇒ϕ21+4ϕ2⇒ϕ21+4ϕ2⇒ϕ2<<<<<22−ϕ1(2−ϕ1)24−4ϕ1+ϕ211−ϕ1
유사하게,ϕ2<1+ϕ1입니다.
경우 λi 후, 복잡 ϕ21<−4ϕ2 등 λ1,2=ϕ1/2±i−(ϕ21+4ϕ2)−−−−−−−−−−√/2.
λ2=(ϕ1/2)2+(−(ϕ21+4ϕ2)−−−−−−−−−−√/2)2=ϕ21/4−(ϕ21+4ϕ2)/4=−ϕ2.
This is stable if |λ|<1, hence if −ϕ2<1 or ϕ2>−1, as was to be shown. (The restriction ϕ2<1 resulting from ϕ22<1 is redundant in view of ϕ2<1+ϕ1 and ϕ2<1−ϕ1.)
Plotting the stationarity triangle, also indicating the line that separates complex from real roots, we get
Produced in R using
phi1 <- seq(from = -2.5, to = 2.5, length = 51)
plot(phi1,1+phi1,lty="dashed",type="l",xlab="",ylab="",cex.axis=.8,ylim=c(-1.5,1.5))
abline(a = -1, b = 0, lty="dashed")
abline(a = 1, b = -1, lty="dashed")
title(ylab=expression(phi[2]),xlab=expression(phi[1]),cex.lab=.8)
polygon(x = phi1[6:46], y = 1-abs(phi1[6:46]), col="gray")
lines(phi1,-phi1^2/4)
text(0,-.5,expression(phi[2]<phi[1]^2/4),cex=.7)
text(1.2,.5,expression(phi[2]>1-phi[1]),cex=.7)
text(-1.75,.5,expression(phi[2]>1+phi[1]),cex=.7)