와

일반적으로 $E(X|Y)$ 와 E ( X | Y = y )의 차이점은 무엇입니까 $E(X|Y=y)$?

이전은 y의 함수 $y$이고 후자는 x의 함수 $x$입니까? 너무 혼란 스럽습니다 ..

대략적으로 말해서, 차이 $E(X \mid Y)$ 및 $E(X \mid Y = y)$ 후자 반면 전자는 랜덤 변수 (어떤 의미에서)를 실현하고 있다는 점이다 $E(X \mid Y)$ . 예를 들어,

$$(X, Y) \sim \mathcal N\left(\mathbf 0, \begin{pmatrix} 1 & \rho \\ \rho & 1 \end{pmatrix}\right)$$ 이면 $E(X \mid Y)$ 는 랜덤 변수 $$E(X \mid Y) = \rho Y.$$ 반대로$Y = y$ 가 관찰되면 수량 E ( X ∣ Y = y ) = ρ에 더 관심이있을 것입니다$E(X \mid Y = y) = \rho y$스칼라 인 y에입니다.

어쩌면 이것은 불필요한 합병증처럼 보이지만 E ( X ∣ Y ) 를 그 자체로 임의의 변수로 간주하면 타워 법칙 E ( X ) = E [ E ( X ∣ Y ) ]와 같은 것이 의미가 있습니다. 중괄호 내부의 것은 임의적이므로 기대치가 무엇인지 물어볼 수 있지만 E ( X ∣ Y = y ) 에 대해서는 임의의 것이 없습니다 . 대부분의 경우 E ( $E(X \mid Y)$$E(X) = E[E(X \mid Y)]$$E(X \mid Y = y)$

$$E(X \mid Y = y) = \int x f_{X\mid Y}(x \mid y) \ dx$$

그런 다음 결과 표현식에서 y 대신에 임의의 변수 Y 를 "플러그인"하여 E ( X ∣ Y ) 를 얻 습니다 . 앞서 언급 한 바와 같이, 이러한 것들이 엄격하게 정의되고 그것들을 적절한 방식으로 연결하는 방법과 관련하여 약간의 미묘함이 있습니다. 이것은 근본적인 이론의 일부 기술적 문제로 인해 조건부 확률로 발생하는 경향이 있습니다.$E(X \mid Y)$$Y$$y$

$X$ 와 $Y$ 가 랜덤 변수 라고 가정 하십시오.

하자 $y_0$ 할 고정 실수라고 $y_0 = 1$ . 그리고, $E[X\mid Y=y_0]= E[X\mid Y = 1]$ A는 번호 : 이는 인 조건부 기대 값 의 $X$ 주어진 $Y$ 값을 가지고 $1$ . 이제 다른 고정 실수 $y_1$ 에 대해 예를 들어 $y_1=1.5$ . $E[X\mid Y = y_1] = E[X\mid Y = 1.5]$ 의 조건부 기대치 것 $X$ 주어진$Y = 1.5$ (실수)를. $E[X\mid Y = 1.5]$ 와$E[X\mid Y = 1]$ 가 동일한 값을 갖는다 고가정 할 이유가 없습니다. 따라서 우리는 또한$E[X\mid Y=y]$ 되로서 실수 y 를 실수 E [ X ∣ Y = y ]에 매핑하는 실수 함수 $g(y)$ 입니다 . 참고있는 OP의 질문에 문 것을 E [ X | Y = y는 ] 의 함수 x는 잘못된 : E [ X | Y = y는 ] 의 실수 함수 y를 .$y$$E[X\mid Y = y]$$E[X\mid Y = y]$$x$$E[X\mid Y = y]$$y$

On the other hand, $E[X\mid Y]$ is a random variable $Z$ which happens to be a function of the random variable $Y$. Now, whenever we write $Z = h(Y)$, what we mean is that whenever the random variable $Y$ happens to have value $y$, the random variable $Z$ has value $h(y)$. Whenever $Y$ takes on value $y$, the random variable $Z = E[X\mid Y]$ takes on value $E[X\mid Y = y] = g(y)$. Thus, $E[X\mid Y]$ is just another name for the random variable $Z = g(Y)$. Note that $E[X\mid Y]$ is a function of $Y$ (not $y$ as in the statement of the OP's question).

As a a simple illustrative example, suppose that $X$ and $Y$ are discrete random variables with joint distribution

$$\begin{align} P(X=0,Y=0) &= 0.1,~~ P(X=0, Y=1) = 0.2,\\ P(X=1,Y=0) &= 0.3,~~ P(X=1,Y=1) = 0.4. \end{align}$$ Note that $X$ and $Y$ are (dependent) Bernoulli random variables with parameters $0.7$ and $0.6$ respectively, and so $E[X] = 0.7$ and $E[Y] = 0.6$. Now, note that conditioned on $Y=0$, $X$ is a Bernoulli random variable with parameter $0.75$ while conditioned on $Y = 1$, $X$ is a Bernoulli random variable with parameter $\frac 23$. If you cannot see why this is so immediately, just work out the details: for example $$P(X=1\mid Y = 0) = \frac{P(X=1, Y=0)}{P(Y=0)} = \frac{0.3}{0.4} = \frac 34,\\ P(X=0\mid Y = 0) = \frac{P(X=0, Y=0)}{P(Y=0)} = \frac{0.1}{0.4} = \frac 14,$$ and similarly for $P(X=1\mid Y=1)$ and $P(X=0\mid Y = 1)$. Hence, we have that $$E[X\mid Y = 0] = \frac 34, \quad E[X \mid Y = 1] = \frac 23.$$ Thus, $E[X\mid Y = y] = g(y)$ where $g(y)$ is a real-valued function enjoying the properties: $$g(0) = \frac 34, \quad g(1) = \frac 23.$$

On the other hand, $E[X\mid Y] = g(Y)$ is a random variable that takes on values $\frac 34$ and $\frac 23$ with probabilities $0.4 = P(Y=0)$ and $0.6 = P(Y=1)$ respectively. Note that $E[X\mid Y]$ is a discrete random variable but is not a Bernoulli random variable.

As a final touch, note that

$$E[Z] = E\left[E[X\mid Y]\right] = E[g(Y)] = 0.4\times \frac 34 + 0.6\times \frac 23 = 0.7 = E[X].$$ That is, the expected value of this function of $Y$, which we computed using only the marginal distribution of $Y$, happens to have the same numerical value as $E[X]$ !! This is an illustration of a more general result that many people believe is a LIE: $$E\left[E[X\mid Y]\right] = E[X].$$

Sorry, that's just a small joke. LIE is an acronym for Law of Iterated Expectation which is a perfectly valid result that everyone believes is the truth.

$E(X|Y)$ is the expectation of a random variable: the expectation of $X$ conditional on $Y$. $E(X|Y=y)$, on the other hand, is a particular value: the expected value of $X$ when $Y=y$.

Think of it this way: let $X$ represent the caloric intake and $Y$ represent height. $E(X|Y)$ is then the caloric intake, conditional on height - and in this case, $E(X|Y=y)$ represents our best guess at the caloric intake ($X$) when a person has a certain height $Y = y$, say, 180 centimeters.

$E(X|Y)$ is expected value of values of $X$ given values of $Y$ $E(X|Y=y)$ is expected value of $X$ given the value of $Y$ is $y$

Generally $P(X|Y)$ is probability of values $X$ given values $Y$, but you can get more precise and say $P(X=x|Y=y)$, i.e. probability of value $x$ from all $X$'s given the $y$'th value of $Y$'s. The difference is that in the first case it is about "values of" and in the second you consider a certain value.

You could find the diagram below helpful.