범주 변수가 0 (또는 참조 그룹) 인 경우 이 평균 이라는 개념을 이해하므로 회귀 계수가 두 범주의 평균 차이라는 최종 해석을 제공합니다. > 2 범주를 사용하더라도 각 는 해당 범주의 평균과 참조의 차이점을 설명 한다고 가정 합니다.$\hat\beta_0$$\hat\beta$

그러나 다 변수 모델에 더 많은 변수가 도입되면 어떻게 될까요? 이제 두 개의 범주 형 변수를 참조하기위한 평균이 아니라는 의미에서 인터셉트 란 무엇을 의미합니까? 예를 들어 성별 (M (ref) / F)과 인종 (white (ref) / black)이 모두 모델에있는 경우입니다. 는 IS 단지 백인 남성의 평균은? 다른 가능성을 어떻게 해석합니까?$\hat\beta_0$

별도의 메모 : 대비 진술은 효과 수정을 조사하는 방법으로 작용합니까? 아니면 다른 수준에서 효과 ( )를 보시겠습니까?$\hat\beta$

$k$ 수준 의 단일 범주 형 변수가있을 때 베타 해석에 대해 옳습니다 . 여러 범주 형 변수 있었다 (및 상호 작용 기간이 없었다) 경우 (절편 β 0 )를위한 기준 레벨을 구성하는 그룹의 평균 인 양 (전체) 범주 형 변수. 예제 시나리오를 사용하여 상호 작용이없는 경우를 고려하면 베타는 다음과 같습니다. $\hat\beta_0$

• $\hat\beta_0$: 백인 남성의 평균
• $\hat\beta_{\rm Female}$다음차이암컷의 평균 및 남성의 평균 간을
• $\hat\beta_{\rm Black}$다음차분블랙의 평균과 백색의 평균 사이

우리는 또한 다양한 그룹 평균을 계산하는 방법으로 이것을 생각할 수 있습니다.

$$\begin{align} &\bar x_{\rm White\ Males}& &= \hat\beta_0 \\ &\bar x_{\rm White\ Females}& &= \hat\beta_0 + \hat\beta_{\rm Female} \\ &\bar x_{\rm Black\ Males}& &= \hat\beta_0 + \hat\beta_{\rm Black} \\ &\bar x_{\rm Black\ Females}& &= \hat\beta_0 + \hat\beta_{\rm Female} + \hat\beta_{\rm Black} \end{align}$$

교호 작용 항이 있으면 흑인 여성에 대한 방정식 끝에 추가됩니다. (이러한 상호 작용 용어에 대한 해석은 상당히 복잡하지만 여기서는 상호 작용 용어 해석에 대해 설명 합니다.)

---

업데이트 : 요점을 명확히하기 위해 코드화 된 통조림 예를 생각해 봅시다 R.

d = data.frame(Sex  =factor(rep(c("Male","Female"),times=2), levels=c("Male","Female")),
               Race =factor(rep(c("White","Black"),each=2),  levels=c("White","Black")),
               y    =c(1, 3, 5, 7))
d
#      Sex  Race y
# 1   Male White 1
# 2 Female White 3
# 3   Male Black 5
# 4 Female Black 7

y이러한 범주 형 변수 의 수단은 다음과 같습니다.

aggregate(y~Sex,  d, mean)
#      Sex y
# 1   Male 3
# 2 Female 5
## i.e., the difference is 2
aggregate(y~Race, d, mean)
#    Race y
# 1 White 2
# 2 Black 6
## i.e., the difference is 4

이러한 평균 간의 차이를 적합 모형의 계수와 비교할 수 있습니다.

summary(lm(y~Sex+Race, d))
# ...
# Coefficients:
#             Estimate Std. Error  t value Pr(>|t|)    
# (Intercept)        1   3.85e-16 2.60e+15  2.4e-16 ***
# SexFemale          2   4.44e-16 4.50e+15  < 2e-16 ***
# RaceBlack          4   4.44e-16 9.01e+15  < 2e-16 ***
# ...
# Warning message:
#   In summary.lm(lm(y ~ Sex + Race, d)) :
#   essentially perfect fit: summary may be unreliable

이 상황에 대해 인식해야 할 것은 상호 작용 항이 없으면 평행선을 가정한다는 것입니다. 따라서 Estimate의 (Intercept)는 백인 남성의 평균입니다. Estimate에 대한이 SexFemale여성의 평균과 남성의 평균 사이의 차이입니다. Estimate용은 RaceBlack블랙의 평균과 백색의 평균 사이의 차이이다. 다시 말하지만, 교호 작용 항이없는 모형은 효과가 엄격하게 부가적인 것으로 가정하기 때문에 (선은 엄격하게 평행을 이룹니다) 흑인 여성의 평균은 백인 남성의 평균에 여성 평균과 남성 평균의 차이를 더한 것입니다 검정의 평균과 흰색의 평균의 차이

$\hat{\beta}_0$$\hat\beta$

인종 카테고리 (예 : Asian )에 세 번째 레벨을 포함하도록 예제를 약간 확장 하고 White 를 참조로 선택한 경우 다음과 같이됩니다.

• $\hat{\beta}_0 = \bar{x}_{White}$
• $\hat{\beta}_{Black} = \bar{x}_{Black} - \bar{x}_{White}$
• $\hat{\beta}_{Asian} = \bar{x}_{Asian} - \bar{x}_{White}$

$\hat{\beta}$

• $\bar{x}_{Asian} = \hat{\beta}_{Asian} + \hat{\beta}_0$

불행히도 여러 범주 형 변수의 경우 절편에 대한 올바른 해석이 더 이상 명확하지 않습니다 (끝 부분 참고). 각각 여러 수준과 하나의 참조 수준 (예 : 흰색 과 남성) 이있는 n 개의 범주 가있는 경우 가로 채기의 일반적인 형식은 다음과 같습니다.

$$\hat{\beta}_0 =∑_{i=1}^{n}\bar{x}_{reference,i} -(n-1) \bar{x} ,$$ $$\bar{x}_{reference,i}\small{\text{ is the mean of the reference level of the i-th categorical variable,}}$$ $$\bar{x}\small{\text{ is the mean of the whole data set}}$$

$\hat\beta$

우리가 당신의 모범으로 돌아 가면, 우리는 다음을 얻을 것입니다.

• $\hat{\beta}_0 = \bar{x}_{White} + \bar{x}_{Male} - \bar{x}$
• $\hat{\beta}_{Black} = \bar{x}_{Black} - \bar{x}_{White}$
• $\hat{\beta}_{Asian} = \bar{x}_{Asian} - \bar{x}_{White}$
• $\hat{\beta}_{Female} = \bar{x}_{Female} - \bar{x}_{Male}$

$\hat\beta$

$\hat\beta$$\hat{\beta}_0, ~\hat{\beta}_{Black}, ~\hat{\beta}_{Asian}$$\hat{\beta}_{Female}$

수치 예

통조림 수치 예제를 위해 @Gung에서 빌려 드리겠습니다.

d = data.frame(Sex=factor(rep(c("Male","Female"),times=3), levels=c("Male","Female")),
    Race =factor(rep(c("White","Black","Asian"),each=2),levels=c("White","Black","Asian")),
    y    =c(0, 3, 7, 8, 9, 10))
d

#      Sex  Race  y
# 1   Male White  0
# 2 Female White  3
# 3   Male Black  7
# 4 Female Black  8
# 5   Male Asian  9
# 6 Female Asian 10

$\hat\beta$

aggregate(y~1,  d, mean)

#          y
# 1 6.166667

aggregate(y~Sex,  d, mean)

#      Sex        y
# 1   Male 5.333333
# 2 Female 7.000000

aggregate(y~Race, d, mean)

#    Race   y
# 1 White 1.5
# 2 Black 7.5
# 3 Asian 9.5

이 숫자를 회귀 결과와 비교할 수 있습니다.

summary(lm(y~Sex+Race, d))

# Coefficients:
#             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
# (Intercept)   0.6667     0.6667   1.000   0.4226
# SexFemale     1.6667     0.6667   2.500   0.1296
# RaceBlack     6.0000     0.8165   7.348   0.0180
# RaceAsian     8.0000     0.8165   9.798   0.0103

$\hat\beta$$\hat\beta_0$

$$\hat{\beta}_0 = \bar{x}_{White} + \bar{x}_{Male} - \bar{x}$$

1.5 + 5.333333 - 6.166667
# 0.66666

대비 선택에 대한 참고 사항

$\hat\beta$

$\hat\beta^{contr.sum}$$\hat\beta^{contr.sum}$

• $\hat\beta_0^{contr.sum}=\bar{x}$
• $\hat\beta_i^{contr.sum}=\bar{x}_i-\bar{x}$

이전 예제로 돌아 가면 다음과 같은 결과가 나타납니다.

• $\hat{\beta}_0^{contr.sum} = \bar{x}$
• $\hat{\beta}_{White}^{contr.sum} = \bar{x}_{White} - \bar{x}$
• $\hat{\beta}_{Black}^{contr.sum} = \bar{x}_{Black} - \bar{x}$
• $\hat{\beta}_{Asian}^{contr.sum} = \bar{x}_{Asian} - \bar{x}$
• $\hat{\beta}_{Male}^{contr.sum} = \bar{x}_{Male} - \bar{x}$
• $\hat{\beta}_{Female}^{contr.sum} = \bar{x}_{Female} - \bar{x}$

$\hat\beta^{contr.sum}$