교체없이 그릴 때 예상되는 뚜렷한 색상 수

개의 다른 색 의 개의 공을 포함하는 항아리를 고려하십시오. 는 개의 공 중 색상 의 공의 비율입니다 ( ). 나는 대체 하지 않고 항아리에서 공을 그리고 그려진 공 중 다른 색상 의 숫자 를 봅니다 . 분포 의 적절한 특성에 따라 의 함수로 의 기대치는 무엇입니까 ?$N$$P$$p_i$$i$$N$$\sum_i p_i = 1$γ γ n / N $n \leq N$$\gamma$$\gamma$$n/N$$\mathbf{p}$

더 많은 통찰력을주기 위해 : 모든 대해 및 경우 항상 정확히 색상, 즉 보게됩니다 . 그렇지 않으면 의 기대치 가 임을 알 수 있습니다 . 고정 와 , 가 균일 할 때 을 곱하는 요소가 최대 가되는 것 같습니다 . 보이는 다른 색의 예상되는 수는 의 함수 , 예를 들어 의 엔트로피 로 제한 될 수 있습니까?$N = P$$p_i = 1/P$n γ = P ( n / N ) γ > P ( n / N ) P N n / N p n / N $i$$n$$\gamma = P (n/N)$$\gamma$$>P(n/N)$$P$$N$$n/N$$\mathbf{p}$$n/N$$\mathbf{p}$

이는 교체없이 샘플링이 수행되고 쿠폰의 분포가 균일하지 않다는 점을 제외하고는 쿠폰 수집기의 문제와 관련이있는 것 같습니다.

k ≤ N 인 색상 이 있다고 가정하십시오 . 하자 b를 난 공 색의 수를 나타낸다 내가 되도록 Σ b를 난 = N이 . 하자 B = { b를 1 , ... , B 형 K }을 과하자 E I ( B를 ) 의 표기하기로 구성된 집합 I 의 요소 서브 세트 B . 하자 Q N , C 우리가 선택할 수있는 방법 나타낸다 수 $k$$k \leq N$$b_i$$i$$\sum b_i = N$$B = \{b_1, \ldots, b_k\}$$E_i(B)$$i$$B$$Q_{n, c}$$n$선택된 세트의 상이한 색의 수가 가되도록 상기 세트로부터의 요소 . 들면 C = 1 수식 간단$c$$c = 1$

$$Q_{n, 1} = \sum_{E \in E_{1}(B)}\binom{\sum_{e \in E}e}{n}$$

들어 우리는 크기의 공의 세트 셀 수 n은 최대 2 색 마이너스 정확히이 세트 수있다 (1 개) 색상 :$c = 2$$n$$1$

$$Q_{n,2} = \sum_{E \in E_{2}(B)}\binom{\sum_{e \in E}e}{n} - \binom{k - 1}{1}Q_{n, 1}$$

는총k 개의색상이있는경우 2 개의 색상을 갖도록 고정 색상에 색상을 추가 할 수있는 방법의 수입니다. 일반적인 공식은c1고정 색상이 있고총k색상을 갖는 동안c2색상을 만들려는 경우입니다(c1≤c2≤k)는 ( k−c$\binom{k - 1}{1}$$k$$c_1$$c_2$$k$$c_1 \leq c_2 \leq k$. 이제Qn,c에대한 일반 공식을 도출하기위한 모든 것이 있습니다.$\binom{k - c_1}{c_2 - c_1}$$Q_{n, c}$

$$Q_{n, c} = \sum_{E \in E_{c}(B)}\binom{\sum_{e \in E}e}{n} - \sum_{i = 1}^{c - 1}\binom{k - i}{c - i}Q_{n, i}$$

n 공 을 그릴 때 정확히 색상 을 가질 확률 은 다음과 같습니다.$c$$n$

$$P_{n, c} = Q_{n, c} / \binom{N}{n}$$

또한 의 경우, Y>X.$\binom{x}{y} = 0$$y > x$

수식을 단순화 할 수있는 특별한 경우가있을 수 있습니다. 이번에는 이러한 단순화를 찾지 않았습니다.

의존하는 색상 수를 찾고있는 예상 값 은 다음과 같습니다.$n$

$$\gamma_{n} = \sum_{i = 1}^{k} P_{n, i} * i$$