분포의 평균에 대한 순간 직감?

누군가가 왜 세 번째와 네 번째 모멘트와 같이 확률 분포 의 더 높은 모멘트 가 왜도 및 첨도에 해당 하는지에 대한 직감을 제공 할 수 있습니까 ? 구체적으로, 왜 세 번째 또는 네 번째 거듭 제곱으로 올린 평균에 대한 편차가 왜도 및 첨도의 척도로 변환 되는가? 이것을 함수의 3 차 또는 4 차 미분과 관련시키는 방법이 있습니까?$p_X$

왜도 및 첨도에 대한 다음 정의를 고려하십시오.

$$\begin{matrix} \text{Skewness}(X) = \mathbb{E}[(X - \mu_{X})^3] / \sigma^3, \\[6pt] \text{Kurtosis}(X) = \mathbb{E}[(X - \mu_{X})^4] / \sigma^4. \\[6pt] \end{matrix}$$

이 방정식에서 정규화 된 값 를 거듭 제곱하고 기대 값을 취합니다. 정규화 된 랜덤 변수를 4의 거듭 제곱으로 올리는 이유가 왜 "피크 니스"를 제공하는지, 왜 정규화 된 랜덤 변수를 3의 거듭 제곱으로 올리는 것이 왜 "왜곡"을 제공해야하는지 명확하지 않습니다. 이것은 마법적이고 신비한 것 같습니다!$(X-\mu)/\sigma$

이러한 정의에 대한 정당한 이유가 있습니다. 표준화 된 랜덤 변수의 순간에 대한 일반적인 형식을 볼 때 더 명확 해집니다. 이 질문에 대답하기 위해, 우선 $n$ 번째 표준화 된 중심 모멘트 의 일반적인 형태를 고려하십시오 : †$^\dagger$

$$\phi_n = \mathbb{E} \Bigg[ \Bigg( \frac{X - \mathbb{E}[X]}{\mathbb{S}[X]} \Bigg)^n \text{ } \Bigg].$$

처음 두 개의 표준화 된 중심 모멘트는 $\phi_1=0$ 및 $\phi_2=1$ , 위의 수량이 잘 정의 된 모든 분포에 대해 유지됩니다. 따라서 우리는 값 $n \geqslant 3$ 대해 발생하는 사소한 표준화 된 중심 모멘트를 고려할 수 있습니다 . 분석을 용이하게하기 위해 다음을 정의합니다.

$$\begin{equation} \begin{aligned} \phi_n^+ &= \mathbb{E} \Bigg[ \Bigg| \frac{X - \mathbb{E}[X]}{\mathbb{S}[X]} \Bigg|^n \text{ } \Bigg| X > \mathbb{E}[X] \Bigg] \cdot \mathbb{P}(X > \mathbb{E}[X]), \\[8pt] \phi_n^- &= \mathbb{E} \Bigg[ \Bigg| \frac{X - \mathbb{E}[X]}{\mathbb{S}[X]} \Bigg|^n \text{ } \Bigg| X < \mathbb{E}[X] \Bigg] \cdot \mathbb{P}(X < \mathbb{E}[X]). \end{aligned} \end{equation}$$

이는 음수가 아닌 양 으로, 표준화 된 랜덤 변수 의 $n$ 번째 절대 전력이 기대 값보다 높거나 낮은 경우 조건부로 제공됩니다. 이제 표준화 된 중심 모멘트를이 부분으로 분해합니다.

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$n$ 홀수 값은 꼬리의 스큐를 측정합니다. $n \geqslant 3$ 의 홀수 값 에 대해 모멘트 방정식에 홀수 전력이 있으므로 표준화 된 중앙 모멘트를 $\phi_n = \phi_n^+ - \phi_n^-$ 으로 쓸 수 있습니다 . 이 양식에서 우리는 표준화 된 중심 모멘트가 각각의 평균보다 높거나 낮은 조건에 따라 표준화 된 랜덤 변수 의 $n$ 번째 절대 검정력 간의 차이를 제공 한다는 것을 알 수 있습니다.

따라서 모든 홀수 거듭 제곱 $n \geqslant 3$ 에 대해 표준화 된 랜덤 변수의 예상 절대 검정력이 평균보다 높은 값보다 평균보다 높은 값에 대해 더 높은 경우 양수 값을 제공하고 예상 된 절대 값에 대해 음수 값을 제공하는 측정 값을 얻습니다 평균보다 낮은 값보다 평균보다 높은 값의 경우 검정력이 낮습니다. 이들 양은 합리적으로 "비대칭"유형의 척도로 간주 될 수 있으며, 더 높은 출력은 평균에서 멀리 떨어져있는 값에 비해 상대적 가중치가 더 큽니다.

이러한 현상은 모든 홀수 전력 발생 이후 $n \geqslant 3$ "비대칭"의 전형적인 측정 값의 자연 선택 정의하는 $\phi_3$ 비대칭도있다. 이것은 높은 홀수보다 표준화 된 중앙 모멘트이며, 높은 모멘트를 고려하기 전에 낮은 모멘트를 탐색하는 것이 당연합니다. 통계에서 우리는 분포의 이러한 측면을 측정하는 가장 낮은 표준화 된 중심 모멘트 이므로이 표준화 된 중심 모멘트를 왜도 라고하는 규칙을 채택 했습니다. (높은 홀수 거듭 제곱은 왜도 유형을 측정하지만 평균에서 멀리 떨어진 값을 강조합니다.)

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$n$ 짝수 값은 꼬리의 치명도를 측정합니다. $n \geqslant 3$ 의 짝수 값 에 대해 모멘트 방정식에 균일 한 검정력이 있으므로 표준화 된 중앙 모멘트를 $\phi_n = \phi_n^+ + \phi_n^-$ 으로 쓸 수 있습니다 . 이 양식에서 우리는 표준화 된 중심 모멘트가 각각의 평균보다 높거나 낮은 조건에 따라 표준화 된 랜덤 변수 의 $n$ 번째 절대 검정력의 합을 제공 한다는 것을 알 수 있습니다.

따라서, 심지어 어떤 힘에 대해 $n \geqslant 3$ 우리는 표준화 된 확률 변수의 분포의 꼬리 오르게하는 경우 발생하는 이상 값이, 음이 아닌 값을 제공하는 계수를 얻을 것이다. 이는 표준화 된 랜덤 변수에 대한 결과 이므로 척도 변경 (분산 변경)은이 측정에 영향을 미치지 않습니다. 오히려 분포의 분산을 표준화 한 후 꼬리의 비만을 효과적으로 측정 한 것입니다. 이들 양은 합리적으로 일종의 "커트 시스"의 척도로 간주 될 수 있으며, 더 높은 거듭 제곱은 평균과는 거리가 큰 값에 비해 상대적 가중치가 커집니다.

이러한 현상은 모든 전원에도 발생하기 때문에 $n \geqslant 3$ , 원형의 측정 값의 자연 선택 첨도가 정의하는 $\phi_4$ 첨도있다. 이것은 고른 힘보다 표준화 된 중심 모멘트가 낮으며, 고차 모멘트를 고려하기 전에 저차 모멘트를 탐색하는 것이 당연합니다. 통계에서 우리는 분포의 이러한 측면을 측정하는 가장 낮은 표준화 된 중심 모멘트이기 때문에이 표준화 된 중심 모멘트를 "쿠 르토 시스"로 지칭하는 규칙을 채택했습니다. (높은 짝수의 힘은 첨도의 유형을 측정하지만 평균에서 멀리 떨어진 값에 점점 더 중점을 둡니다.)

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$^\dagger$ 이 방정식은 처음 두 모멘트가 있고 분산이 0이 아닌 분포에 대해 잘 정의되어 있습니다. 우리는 관심있는 분포가 나머지 분석에서이 등급에 속한다고 가정 할 것입니다.

비슷한 질문 확률 분포의 '순간'에 대해 '순간'이란 무엇입니까? 나는 순간을 해결 한 것에 대한 물리적 인 대답 을했다.

"각가속도는 각속도의 미분으로 시간에 대한 각도의 미분입니다. 즉, $\dfrac{d\omega}{dt}=\alpha,\,\dfrac{d\theta}{dt}=\omega$$\theta$

실제 예제를 통해이를 시각화하는 것이 더 쉬울 수 있으므로 링크 를 참조하십시오 .

왜도는 첨도보다 이해하기 쉽습니다. 음의 왜도는 오른쪽보다 무거운 왼쪽 꼬리 (또는 추가 음의 방향 이상치)이고 반대는 양의 왜도입니다.

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