단순 선형 회귀 분석에서 절편과 기울기의 추정값은 독립적입니까?

선형 모형을 고려하십시오

$y_i= \alpha + \beta x_i + \epsilon_i$

평범한 최소 제곱을 사용하여 기울기와 및 를 추정합니다 . 수학 통계에 대한 이 참조 는 및 가 독립성을 가짐을 이론적으로 증명합니다. $\hat{\alpha}$ $\hat{\beta}$ $\hat{\alpha}$ $\hat{\beta}$

왜 그런지 잘 모르겠습니다. 이후

$\hat{\alpha}=\bar{y}-\hat{\beta} \bar{x}$

이것은 와 가 서로 관련되어 있지 않습니까? 아마 여기에 분명한 것이 빠져있을 것입니다. $\hat{\alpha}$ $\hat{\beta}$

regression

— Wetlab 학생
소스

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회귀 가 표본 평균을 중심으로 하여 단순 선형 회귀 모형 을 지정한다는 것을보다 명확하게 알 수 있습니다. 그리고 이것은 왜 그들이 와 가 독립적 이라고 말하는지를 설명합니다 . $\hat \alpha$ $\hat \beta$

중심 이 아닌 회귀로 계수를 추정하는 경우 공분산은

Cov (\hat{α}, \hat{β}) = - σ^{2} (\bar{x} / S_{x x}), S_{x x} = \sum (x_{i}^{2} - {\bar{x}}^{2})

$\text{Cov}(\hat \alpha,\hat \beta) = -\sigma^2(\bar x/S_{xx}), \;\;S_{xx} = \sum (x_i^2-\bar x^2)$

따라서 중심에 회귀자를 사용하는 경우 이를 라고 하면 위 공분산 식은 중심 회귀 분석기의 샘플 평균 인 를 사용하므로 0이됩니다. 그것도 0이 될 것이고 계수 추정기는 독립적 일 것이다. $\bar x$ $\tilde x$ $\tilde {\bar x}$

이 게시물 은 간단한 선형 회귀 OLS 대수에 대해 자세히 설명합니다.

— 알레 코스 파파도풀로스
소스

내가 사용하는 것이 좋습니다 것입니다 대신 . 그렇지 않으면 및 를 인구 집단으로 대체해야한다고 생각합니다. 아니면 내가 틀렸어?

C o v (\hat{α}, \hat{β} | X)

$Cov(\hat \alpha, \hat \beta | X)$

C o v (\hat{α}, \hat{β})

$Cov(\hat \alpha, \hat \beta)$

\bar{x}

$\bar x$

S_{x x}

$S_{xx}$

— Richard Hardy