컨볼 루션은 왜 작동합니까?

나는 우리가 독립 확률 변수의 합의 확률 분포 찾으려면 것을 알 수 있도록 , 우리의 확률 분포에서 그것을 계산할 수 와 말해서, $X + Y$ $X$ $Y$

f_{X + Y} (a) = \int_{x = - \infty}^{\infty} f_{X, Y} (X = x, Y = a - x) d x = \int_{x = - \infty}^{\infty} f_{X} (x) f_{Y} (a - x) d x

$f_{X + Y}(a) = \int_{x = -\infty}^{\infty} f_{X, Y}(X = x, Y = a - x)~dx = \int_{x = -\infty}^{\infty} f_X(x) f_Y(a - x)~dx$

우리는 두 확률 변수의 합 확률 찾으려면 때문에 직관적으로, 이것은 의미가 , 그것은 기본적으로 합산이 변수로 이어질 모든 이벤트의 확률의 합이다 . 그러나이 진술을 공식적으로 증명할 수있는 방법은 무엇입니까? $a$ $a$

probability

— 제시카
소스

약간 다른 질문이지만 대답은 비슷 합니다.

— Carl

답변:

보다 일반적인 솔루션은 고려합니다. 여기서 와 는 반드시 독립적 일 필요는 없습니다. PDF가 어디에서 왔는지 또는 어떻게 정당화하는지 궁금해하는 문제에 대한 일반적인 솔루션 전략은 아마도 누적을 찾은 다음 CDF를 PDF로 줄이기 위해 차별화하는 것입니다. $Z = X + Y$ $X$ $Y$

이 경우 여기서 은 - 평면 의 영역입니다 . $F_Z(z) = \mathrm{P}(Z \leq z) = \int \int_R f_{X,Y}(x,y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y$ $R$ $x$ $y$ $x + y \leq z$

아래 다이어그램에서 파란색 해치 영역입니다. 이 영역을 스트립으로 나누어서이 영역을 통합하는 것은 당연합니다. 세로 스트립으로 해냈지만 가로로 할 것입니다. 효과적으로 나는 각 좌표 에 대해 에서 범위 의 스트립으로 끝나고 각 스트립을 따라 값이 선 위로 올라가지 않기를 원 하므로 . $x$ $-\infty$ $\infty$ $y$ $x + y = z$ $y \leq z - x$

z <x + y

이제 와 관점에서 적분의 한계를 얻었습니다. 를 의 상한으로 표시 하는 것을 목표로 다음과 같이 , 를 대체 할 수 있습니다 . 변수를 변경하기 위해 Jacobian 의 사용 을 이해하는 한 수학은 간단 합니다. $x$ $y$ $u=x$ $v=x+y$ $z$ $v$

F_{Z} (z) = \int_{x = - \infty}^{x = \infty} \int_{y = - \infty}^{y = z - x} f_{X, Y} (x, y) d x d y = \int_{v = - \infty}^{v = z} \int_{u = - \infty}^{y = \infty} f_{X, Y} (u, v - u) d u d v

$F_Z(z) = \int_{x = -\infty}^{x=\infty}\int_{y=-\infty}^{y=z-x}f_{X,Y}(x,y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y = \int_{v = -\infty}^{v=z}\int_{u=-\infty}^{y=\infty}f_{X,Y}(u,v-u)\,\mathrm{d}u\,\mathrm{d}v$

특정 조건이 충족 되는 한 와 관련 하여 적분 부호 로 구별하여 다음 을 얻을 수 있습니다. $z$

f_{Z} (z) = \int_{- \infty}^{\infty} f_{X, Y} (u, z - u) d u

$f_Z(z) = \int_{-\infty}^{\infty}f_{X,Y}(u, z-u)\,\mathrm{d}u$

와 가 독립적이지 않더라도 작동합니다 . 그러나 만약 그렇다면, 우리는 조인트 밀도를 두 개의 한계 값의 곱으로 다시 쓸 수 있습니다. $X$ $Y$

f_{Z} (z) = \int_{- \infty}^{\infty} f_{X} (u) f_{Y} (z - u) d u

$f_Z(z) = \int_{-\infty}^{\infty}f_X(u)f_Y(z-u)\,\mathrm{d}u$

더미 변수 는 원하는 경우 로 쓸 수 있습니다 . $u$ $x$

적분에 대한 나의 표기법은 Geoffrey Grimmett와 Dominic Walsh의 섹션 6.4, 확률 : 소개 , Oxford University Press, New York, 2000을 따릅니다 .

— 은어
소스

+1 표기법에 따르면, 규칙은 다중 적분 외부의 차이가 외부 적분에 적용된다는 것입니다. 따라서, 으로 표현하면 대한 적분이 먼저 이루어집니다 . 내부 적분입니다. 그리고 대한 적분입니다. 마지막으로 이루어집니다. 그것은 외부 적분입니다. 따라서 와 같이 의미를 변경하지 않고 괄호를 자유롭게 배치 할 수 있습니다.

\iint \dots d x d y

$\iint \cdots \mathrm{d}x\,\mathrm{d} y$

x

$x$

y

$y$

\int (\int \dots d x) d y

$\int\left(\int \cdots \mathrm{d}x\right)\mathrm{d}y$

— whuber

@ whuber, 그것에 대해 생각하면, 그것은 내가 아는 거의 모든 교과서에 적용되는 규칙입니다 (그래서 다중 통합은 효과적으로 중첩 된 적분입니다). 그러나 Grimmett과 Welsh의 "확률 : 소개"는 한계와 미분에 대해 동일한 왼쪽 순서의 규칙과 완전히 일치합니다. 예를 들어 !

\int_{u} \int_{v} \int_{w} . . . d u d v d w

$\int_u \int_v \int_w ... du\,dv\,dw$

— Silverfish

많은 분야의 교차로에서 우리가 충돌하는 협약에 어떻게 노출 되는가에 따라 끊임없이 즐거워합니다. 다른 배경을 가진 사람들과 함께 일하는 기쁨 중 하나입니다.

— whuber

@whuber 나는 적분을 설정하는 규칙이 국가마다 크게 다르다는 것을 알고 있습니다 .Tex SE tex.stackexchange.com/a/88961/25866 에서 이것을 즐기고 여러 통합을 포함하도록 확장되기를 바랍니다!

— Silverfish

오른쪽이 의 밀도처럼 작동하는 경우에만이 명령문이 적용됩니다 . 그건, $X+Y$

F_{X + Y} (a) = P (X + Y \leq a) = \int_{- \infty}^{a} f_{X + Y} (z) d z = \int_{- \infty}^{a} (\int f_{X} (x) f_{Y} (z - x) d x) d z

$F_{X+Y}(a)=\mathbb{P}(X+Y\le a) = \int_{-\infty}^a f_{X+Y}(z)\,\mathrm{d}z = \int_{-\infty}^a \left(\int f_X(x) f_Y(z-x)\,\mathrm{d}x\right)\mathrm{d}z$

모두를 . 오른쪽부터 시작하여이를 확인합시다. $a$

적용 푸 비니의 정리를 통합의 순서를 변경하고 교체하기 위해 . Jacobian 의 결정 인자 는 이므로이 변수 변경으로 인해 추가 항이 도입되지 않습니다. 참고로 인해 와 이다 일대일 및 경우에만, , 우리가 적분 재기록 수도 $z = x+y$ $1$ $z$ $y$ $-\infty \lt z \le a$ $-\infty \lt y \lt a-x$

= \int (\int_{- \infty}^{a - x} f_{X} (x) f_{Y} (y) d y) d x .

$=\int \left(\int_{-\infty}^{a-x}f_X(x)f_Y(y)\,\mathrm{d} y\right)\mathrm{d}x.$

으로 정의 이것은 위에 일체 의은 $\mathbb{R}^2$

= \iint I (x + y \leq a) f_{X} (x) f_{Y} (y) d y d x

$=\iint I(x+y\le a)f_X(x)f_Y(y)\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x$

여기서 는 세트의 표시기 기능입니다. 마지막으로, 와 는 독립적이므로 모든 대해 는 적분을 단지 기대로 나타냅니다 $I$ $X$ $Y$ $f_{(X,Y)}(x,y) = f_X(x)f_Y(y)$ $(x,y)$

= \iint I (x + y \leq a) f_{(X, Y)} (x, y) d y d x = E (I (X + Y \leq a)) = P (X + Y \leq a),

$=\iint I(x+y\le a)f_{(X,Y)}(x,y)\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x = \mathbb{E}(I(X+Y\le a))=\mathbb{P}(X+Y\le a),$

바라는대로.

더 일반적으로, 또는 중 하나 또는 둘 모두에 분포 함수가 없더라도 여전히 얻을 수 있습니다 $X$ $Y$

F_{X + Y} (a) = E_{X} (F_{Y} (a - X)) = E_{Y} (F_{X} (a - Y))

$F_{X+Y}(a) = \mathbb{E}_X\left(F_Y(a-X)\right) = \mathbb{E}_Y\left(F_X(a-Y)\right)$

기본 정의에서 직접, 확률과 기대 사이를 오가는 지표의 기대를 사용하고 와 대한 별도의 기대로 계산을 나누기 위해 독립 가정을 활용합니다 . $X$ $Y$

\begin{aligned} P (X + Y \leq a) & = E (I (X + Y \leq a)) \\ = E_{X} (E_{Y} (I (X + Y \leq a)) \\ = E_{X} (P_{Y} (Y \leq a - X)) \\ = E_{X} (F_{Y} (a - X)) . \end{aligned}

$\eqalign{ \mathbb{P}(X+Y\le a) &= \mathbb{E}(I(X+Y\le a)) \\ &= \mathbb{E}_X\left(\mathbb{E}_Y(I(X+Y\le a)\right) \\ &= \mathbb{E}_X\left(\mathbb{P}_Y(Y\le a-X)\right) \\ &=\mathbb{E}_X(F_Y(a-X)). }$

예를 들어, 확률 질량 함수가 아닌 CDF로 표시되기 때문에 일반적인 임의의 변수에 대한 일반적인 공식이 포함됩니다.

미분과 적분의 교환에 대한 이론이 충분히 강하면 한 번의 스트로크로 밀도 를 얻기 위해 와 관련하여 양쪽을 구별 할 수 있습니다 . $a$ $f_{X+Y}$

\begin{aligned} f_{X + Y} (a) & = \frac{d}{d a} F_{X + Y} (a) = E_{X} (\frac{d}{d a} F_{Y} (a - X)) = E_{X} (f_{Y} (a - X)) \\ = \int f_{X} (x) f_{Y} (a - x) d x . \end{aligned}

$\eqalign{ f_{X+Y}(a) &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}a} F_{X+Y}(a) =\mathbb{E}_X\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}a} F_Y(a-X)\right) = \mathbb{E}_X \left(f_Y(a-X)\right) \\ &= \int f_X(x) f_Y(a-x) \,\mathrm{d} x. }$

— 우버
소스