최소 지수 분포에 대한 최대 가능성 추정기

이 문제를 해결하는 방법에 붙어 있습니다.

따라서 대해 두 개의 랜덤 변수 시퀀스 및 가 있습니다. 이제 와 는 매개 변수 및 갖는 독립적 인 지수 분포입니다 . 그러나 와 를 관찰하는 대신 와 관찰합니다 . $X_i$ $Y_i$ $i=1,...,n$ $X$ $Y$ $\lambda$ $\mu$ $X$ $Y$ $Z$ $W$

$Z=\min(X_i,Y_i)$ 및 경우 이고 경우 0 입니다. 와 기준으로 및 의 최대 가능성 추정값에 대한 닫힌 양식을 찾아야 합니다. 또한 우리는 이것이 세계 최대라는 것을 보여줄 필요가 있습니다. $W=1$ $Z_i=X_i$ $Z_i=Y_i$ $\lambda$ $\mu$ $Z$ $W$

이제 두 개의 독립적 인 지수의 최소값 자체가 속도의 합계와 같은 지수 라는 것을 알고 있으므로 $Z$ 는 매개 변수 지수입니다 $\lambda+\mu$ . 따라서 최대 가능성 추정치는 $\hat{\lambda}+\hat{\mu}=\bar{Z}$ 입니다.

그러나 나는 여기서 어디로 가야할지에 갇혀 있습니다. $W$ 는 매개 변수를 가진 Bernoulli 분포 라는 것을 알고 $p=P(Z_i=X_i)$ 있지만 매개 변수 중 하나에 대한 명령문으로 변환하는 방법을 모르겠습니다. 예를 들어, MLE $\bar{W}$ 는 $\lambda$ 및 / 또는 관점에서 무엇을 추정 $\mu$ 합니까? 본인은 경우 $Z_i=X_i$ , 다음 $\mu=0$ ,하지만 난 여기에, 어떤 대수 문을 마련하는 방법을 알아내는 힘든 시간을 보내고 있습니다.

업데이트 1 : $Z$ 와 의 공동 분포에 대한 가능성을 도출하기 위해 의견에서 들었습니다 $W$ .

따라서 여기서 입니다. 옳은? 와 가 독립적이지 않기 때문에이 경우 공동 분포를 파생시키는 다른 방법을 모르겠습니다 . $f(Z,W)=f(Z|W=1)\cdot p+f(Z|W=0)\cdot (1-p)$ $p=P(Z_i=X_i)$ $Z$ $W$

따라서 이것은 위 의 정의에 의해 을 제공합니다 . 그러나 지금 무엇? 이것은 어디서나 나를 얻지 못합니다. I는 우도를 계산하는 단계를 진행하는 경우, I 얻을 (하여 및 혼합물의 각 부분으로서 샘플 사이즈 ...) $f(Z_i,W_i)=p\lambda e^{-\lambda z_i}+(1-p)\mu e^{-\mu z_i}$ $W$ $m$ $n$

$L(\lambda,\mu)=p^m\lambda^m e^{-\lambda \sum{z_i}}+(1-p)^n\mu^n e^{-\mu \sum{z_i}}$

$\log L=m\log p+m\log\lambda-\lambda \sum{z_i}+n\log(1-p)+n\log\mu-\mu \sum{z_i}$

부분 미분을 취하면 및 대한 MLE 추정치가 에 대한 의 평균 조건에 불과 하다는 것을 알 수 . 그건, $\lambda$ $\mu$ $Z$ $W$

$\hat{\lambda}=\frac{\sum{Z_i}}{m}$

$\hat{\mu}=\frac{\sum{Z_i}}{n}$

과

$\hat{p}=\frac{m}{n+m}$

— 라이언 시몬스
소스

오늘 비슷한 MLE 질문에 답한 후에 몇 가지 아이디어에 대한 솔루션으로 안내해 드리겠습니다 . 질문 간의 관계는 데이터가 자연스럽게 두 개의 분리 된 그룹으로 나뉩니다 그룹 과 입니다. 그것은 모두 형식의 관측에 대한 가능성을 기록하는 것입니다 . 와 사이의 대칭 인 와 는 즉시 형식의 데이터에 대한 가능성을 생성 한 다음 벗어납니다.

W = 0

$W=0$

W = 1

$W=1$

(Z, W) = (z, 0)

$(Z,W)=(z,0)$

X

$X$

Y

$Y$

μ

$\mu$

λ

$\lambda$

(z, 1)

$(z,1)$

— whuber

최대한의 가능성을 쓰려고 서두르지 마십시오! 먼저 의 공동 분포를 표현한 다음 의 표본과 관련된 가능성을 추정합니다. 지수 가정으로 인해 닫힌 형태입니다. 그런 다음에야 함수를 최대화하려고 시도 할 수 있으므로 최대한의 가능성을 얻을 수 있습니다.

(Z, W)

$(Z,W)$

(Z_{i}, W) =_{i})

$(Z_i,W)=_i)$

— 시안

@whuber : (+1) 그것은 간단 참으로 오히려이고 사이의 거리를 포함한다 의과 그러나 두 그룹은 포함 모두 와 그들이에 대한 정보를 가지고 있기 때문에, 모두 및 보낸 .

(z_{i}, 1)

$(z_i,1)$

(z_{i}, 0)

$(z_i,0)$

μ

$\mu$

λ

$\lambda$

X_{i}

$X_i$

Y_{i}

$Y_i$

W_{i} = I (X_{i} < Y_{i})

$W_i=\mathbb{I}(X_i<Y_i)$

— 시안

@ Xi'an 맞아요. 그리고 제가 계속 연결하기 위해 연결하는 Normal-theory 예제와 비슷한 점은 두 그룹 모두 공통 매개 변수 (스케일) 에 대한 정보를 제공하기 때문에 추정에는 "풀링"데이터가 포함 되기 때문입니다 그룹에서. 여기서 는 의 추정치 ( 에 대한 비율 또는 역 척도 )를 와 의 개별 추정치로 어떻게 할당해야하는지 알려줍니다 .

σ

$\sigma$

\bar{W}

$\bar W$

λ + μ

$\lambda+\mu$

Z

$Z$

λ

$\lambda$

μ

$\mu$

— whuber

나는 다른 스레드 인 whuber를 읽었지만 솔직히이 예제에 적용하는 방법을 이해하지 못합니다. Z와 W는 독립적이지 않으므로 관절 분포를 어떻게 도출합니까?

— Ryan Simmons

언급 할 점이 충분하지 않으므로 여기에 쓰겠습니다. 다음을 고려하면 게시 한 문제를 생존 분석 관점에서 볼 수 있다고 생각합니다.

$X_i$ : 진정한 생존 시간

$Y_i$ : 검열 시간

둘 다 와 독립적으로 지수 분포를 갖습니다 . 이어서 관측 생존 시간이고 검열 표시기. $X$ $Y$ $Z_i$ $W_i$

생존 분석에 익숙하다면이 시점부터 시작할 수 있다고 생각합니다.

참고 : 좋은 출처 : DRCox 및 D.Oakes에 의한 생존 데이터 분석

아래는 예입니다. 생존 시간 분포의 pdf가 합니다. 생존 함수는 입니다. 그리고 로그 가능성은 다음과 같습니다. $f(t)=\rho e^{-\rho t}$ $S(t)=e^{-\rho t}$

$\mathcal{l}= \sum_u \log f(z_i) + \sum_c \log S(z_i)$

무수정 된 사람들 ( )과 검열 된 사람들 ( ) 각각에 대한 합산 . $u$ $c$

인해 사실을 여기서, H (t)는 위험 기능이 작성 될 수있다 : $f(t)=h(t)S(t)$

$\mathcal{l}= \sum_u \log h(z_i) + \sum \log S(z_i)$

$\mathcal{l}= \sum_u \log \rho - \rho \sum z_i$

그리고 최대 우도 추정 의 있습니다 : $\hat{\rho}$ $\rho$

$\hat{\rho}=d/\sum z_i$ 여기서 는 의 총 사례 수입니다. $d$ $W_i=1$

— 주재
소스