왜 주가는 로그 정상이지만 주식 수익은 정상입니까

가격이 양수 여야하지만 수익이 음수 일 수 있다는 사실을 제외하고는 주가를 로그 정규 분포로 모델링하는 데 다른 이유가 있습니까?

시작해야 할 몇 가지 사항 :

i)이 배포 규칙은 근사치입니다. 그것들은 편리한 모델 일 수 있지만, 실제 주가 나 수익 분포와 혼동해서는 안됩니다.

ii) 주가는 일반적으로 증가하고 있지만 (어쨌든 평균이 변하고 평균이 안정적이지 않습니다) 따라서 주가 분포에 대해 이야기 할 때 일반적으로 한계 분포가 아니라 조건부 분포 를 말합니다 . 따라서 우리는 종종 와 비슷한 것을 의미하는 경향이 있습니다 는 변경되는 평균을 갖습니다 (구체적으로, 조건부 로그 노멀, 일부 이전 값과 경과 시간에 조건부). 분산도 변경 될 수 있으며,이 경우 일부 이전 값 및 시간에 대한 평균 및 분산 조건이 모두 변경됩니다. 예를 들어, "주가는 대략 로그 정규"입니다. $y_t$$t$$y_t/y_{t-1} \, \dot{\sim}\, \log N(\mu_\text{daily},\sigma^2_\text{daily})$또는 동등하게 $y_t \, \dot{\sim}\, \log N(\log(y_{t-1})+\mu_\text{daily},\sigma^2_\text{daily})$

iii) 작은 경우 log ( 1 + x ) ≈ x 입니다.$x$$\log(1+x)\approx x$

일별 반품과 같은 단기간 반품의 경우 일반적으로 은 매우 작으며, 일반적으로 절대 값이 0.01-또는 종종 더 적습니다.$\frac{y_{t}-y_{t-1}}{y_{t-1}}$

$\log(y_t)-\log(y_{t-1})=\log(\frac{y_t}{y_{t-1}})\approx \frac{y_t}{y_{t-1}}-1=\frac{y_t-y_{t-1}}{y_{t-1}}$

즉, 수익률은 대략 로그 주가의 변화입니다 (실제 주가로 시도하고 거의 동일 함).

그래서 만약

$$y_t \, \dot{\sim} \, \log N(\log(y_{t-1})+\mu_\text{daily},\sigma^2_\text{daily})$$

이것은 암시

$$\log(y_t) \, \dot{\sim} \, N(\log(y_{t-1})+\mu_\text{daily},\sigma^2_\text{daily})$$

그때

$$\frac{y_t-y_{t-1}}{y_{t-1}}\approx \log(y_t)-\log(y_{t-1})\,\dot{\sim}\,N(\mu_\text{daily},\sigma^2_\text{daily})$$