첨도는 확실히 피크가있는 위치가 아닙니다 . 당신이 말했듯이, 그것은 이미 모드라고합니다.
Kurtosis는 표준화 된 네 번째 순간입니다. 만약 Z=X−μσ 가 우리가보고있는 변수의 표준화 된 버전이라면, 집단 첨도는 그 표준화 된 변수의 평균 4 제곱입니다. E(Z4) . 샘플 첨도는 표준화 된 샘플 값 세트의 평균 제 4 거듭 제곱과 관련이 있습니다 (일부 경우 큰 샘플에서 1로 계수가 조정 됨).
참고로,이 네 번째 표준화 된 모멘트는 정규 확률 변수의 경우 3입니다. Alecos가 주석에서 언급 한 것처럼 일부 사람들은 첨도를 ; 때로는 과도한 첨도 라고도합니다 (네 번째 누적입니다). '커토 시스'라는 단어를 볼 때 다른 사람들이 동일한 단어를 사용하여 서로 다른 두 가지 (그러나 밀접하게 관련된) 수량을 나타낼 가능성을 명심해야합니다.E(Z4)−3
첨도는 일반적으로 정점 * (즉, 정점이 얼마나 급격하게 구부러 졌는지-아마도 "첨도"라는 단어를 선택하려는 의도 였음) 또는 굵은 꼬리 (종종 사람들이 측정에 관심이있는 것)로 설명되지만 실제로 일반적인 네 번째 표준화 된 순간은 그 중 어느 것도 측정하지 않습니다.
실제로, Kendall과 Stuart의 첫 번째 책은 높은 첨도가 반드시 더 높은 피크 (표준화 된 변수에서) 또는 더 두꺼운 꼬리 (세번째 순간이 많은 사람들을 측정하지 않는 비슷한 방식)와 관련이있는 것은 아니라는 것을 보여주는 반대 사례를 제시합니다. 생각합니다).
그러나 많은 상황에서 첨도가 높을 때 더 높은 정점과 두꺼운 꼬리가 종종 나타나는 경향이 있기 때문에 두 가지 모두와 관련된 경향이 있습니다.
첨도 및 왜도는 밀접한 관련이 있습니다 (첨도는 왜도의 제곱보다 적어도 1 이상이어야합니다. 분포가 거의 대칭 일 때 첨도의 해석은 다소 쉽습니다.
Darlington (1970)과 Moors (1986)는 첨도의 네 번째 순간 측정이 "어깨"- 에 대한 변동성에 실제로 영향을 미치고 Balanda와 MacGillivray (1988)는이를 모호한 용어로 생각할 것을 제안합니다. 그 의미 (그리고 그것을 측정하는 다른 방법을 고려하십시오). 분포가 에 대해 밀접하게 집중되어 있으면 첨도는 (필수적으로) 작고, 분포가 (중앙에 동시에 쌓이는 경향이 있음) 어깨에서 멀어지게하기 위해 꼬리로 확률을 이동시킵니다.), 네 번째 순간 첨도는 클 것입니다.μ ± σ μμ±σμ±σμ±σ
De Carlo (1997)는 첨도에 관해 읽을 수있는 합리적인 출발점입니다 (Wikipedia와 같은 더 기본적인 자원 이후).
편집 : 높은 정점 (0에 가까운 값)이 첨도에 전혀 영향을 줄 수 있는지에 대한 의문이 종종 있습니다. 대답은 그렇습니다. 물론 가능합니다. 표준화 된 변수의 네 번째 모멘트를 증가 시키려면 일정하게 유지하면서 를 늘려야합니다 . 이것은 꼬리까지 더 나아가는 확률의 움직임이 내에서) 더 나아가 야한다는 것을 의미한다 . 그 반대로-분산을 1로 유지하면서 중앙에 더 많은 무게를 넣으면 꼬리에 약간을 넣습니다.E(Z4)E(Z2) (−1,1)
[의견에서 논의 된 바와 같이, 이것은 일반적인 진술로서 부정확하다; 여기에는 다소 다른 진술이 필요합니다.]
분산이 일정하게 유지되는 이러한 효과는 달링턴 (Darlington)과 무 어스 (Morors) 논문에서 "어깨에 대한 변화"로서 첨도에 대한 논의와 직접 관련 이 있습니다 . 그 결과는 약간의 손수 음이 아니라 평범한 수학적 동등성입니다-첨도를 잘못 나타내지 않으면 그것을 견딜 수 없습니다.
이제 피크를 올리지 않고 내부의 확률을 높일 수 있습니다 . 마찬가지로, 먼 꼬리를 무겁게 만들지 않고도 외부의 확률을 높일 수 있습니다 (일부 전형적인 꼬리 지수에 의해). 즉, 꼬리를 더 밝게 만드는 동안 첨도 를 높이는 것이 가능합니다 (예 : 평균의 양쪽에서 2sds를 넘어 더 밝은 꼬리를 갖는 것).(−1,1)(−1,1)
[Kendall과 Stuart를 참고 문헌에 포함시킨 것은 첨도에 대한 논의가이 점과도 관련이 있기 때문입니다.]
그래서 우리는 무엇을 말할 수 있습니까? 첨도는 종종없이 높은 피크와 무거운 꼬리와 연관된 갖는 하나 시들어 발생. 확실히 꼬리를 가지고 놀면서 (1 초 이상을 얻을 수 있기 때문에) 중심점을 조정하여 분산을 일정하게 유지하는 것이 더 쉽다 . 확실하게 그렇게하고 대신에 초점을 맞춰서 첨도를 조작 할 수 있습니다. 첨도는 주로 꼬리 무거움과 관련이있을뿐만 아니라 어깨 결과에 대한 변화를 살펴 봅니다. 불가피한 수학적 의미에서 첨도가보고있는 것이 있다면.
참고 문헌
Balanda, KP 및 MacGillivray, HL (1988),
"Kurtosis : 중요한 검토."
미국 통계 학자 42 , 111-119.
Darlington, Richard B. (1970),
"Kertosis는 정말"피크 니스입니까? "
미국 통계 학자 24 , 19-22.
무 어스, JJA (1986),
"첨도의 의미 : 달링턴 재검토."
미국 통계 학자 40 , 283-284.
DeCarlo, LT (1997),
"첨도의 의미와 사용"
Psychol. 방법, 2 , 292-307.
Kendall, MG 및 A. Stuart,
고급 통계 이론 ,
Vol. 1, 3 번째 Ed.
(최신판에는 스튜어트와 오르 드가 있습니다)