데이터가 정상적으로 배포되는 이유

실제 데이터가 정규 분포 될 것으로 예상되는 이유를 설명 할 수있는 이론은 무엇입니까?

내가 아는 두 가지가 있습니다.

1. 중앙 한계 정리 (물론)는 평균과 분산 (동일하게 분포되지 않은 경우에도)을 갖는 여러 개의 독립적 인 랜덤 변수의 합이 정규 분포를 따르는 경향이 있음을 알려줍니다.

2. 관절 밀도가 $x^2$ + 에만 의존하도록 X와 Y가 차별화 가능한 밀도를 가진 독립적 인 연속 RV가되게하십시오 . 그러면 X와 Y는 정상입니다.$y^2$

( mathexchange 에서 교차 포스트 )

편집 : 분명히하기 위해 실제 데이터가 얼마나 많이 배포되는지에 대해서는 주장하지 않습니다. 나는 어떤 종류의 프로세스가 정상적으로 분산 된 데이터로 이어질 수 있는지에 대한 통찰력을 줄 수있는 이론에 대해 묻고 있습니다.

불연속 RV (포아송, 이항 등)의 많은 제한 분포는 대략 정상입니다. 플린 코를 생각하십시오. 근사 정규성이 유지되는 거의 모든 경우에서 정규성은 큰 표본에만 적용됩니다.

대부분의 실제 데이터는 정상적으로 배포되지 않습니다. Micceri (1989)의 논문은 " 유니콘, 일반 곡선 및 기타 불가능한 생물 " 이라고 불리는 440 개의 대규모 성취와 심리 측정을 조사했습니다. 그는 순간에 따른 분포의 변동성이 많고 정규성에 대한 증거가 많지 않음을 발견했습니다.

스티븐 스티 글러 (Steven Stigler)의 1977 년 논문에서 " 강건한 추정기 실제 데이터로 작업하기 "는 18 세기의 유명한 시도에서 수집 된 24 개의 데이터 세트를 사용하여 지구에서 태양까지의 거리를 측정하고 19 세기에는 광속을 측정하려고 시도했습니다. 그는 표 3에 샘플 왜도 및 첨도를보고했다. 데이터는 꼬리가 무겁다.

통계에서 우리는 최대 가능성 (또는 다른 방법)이 편리하기 때문에 정규성을 종종 가정합니다. 그러나 위에서 인용 한 두 논문은 가정이 종종 열악하다는 것입니다. 이것이 견고성 연구가 유용한 이유입니다.

정규 분포를 사용하기위한 정보 이론적 근거도 있습니다. 평균과 분산이 주어지면 정규 분포는 모든 실제 확률 분포 중 최대 엔트로피를 갖습니다. 이 부동산에 관한 많은 자료가 있습니다. 간단한 내용은 여기에서 확인할 수 있습니다 . 지금까지 언급 한 대부분의 주장과 관련된 가우시안 분포를 사용하는 동기에 대한보다 일반적인 논의는 Signal Processing 잡지 의이 기사에서 찾을 수 있습니다 .

물리학에서는 CLT이며 많은 측정에서 정규 분포 오차가 발생하는 원인으로 일반적으로 인용됩니다.

실험 물리학에서 가장 일반적인 두 가지 오차 분포는 정규 및 포아송입니다. 후자는 일반적으로 방사성 붕괴와 같은 카운트 측정에서 발생합니다.

이 두 분포의 또 다른 흥미로운 특징은 가우시안과 포아송의 랜덤 변수의 합이 가우시안과 포아송에 속한다는 것입니다.

다음과 같은 실험 과학 통계에 관한 여러 책 이 있습니다 : Gerhard Bohm, Günter Zech, 물리학자를위한 통계 및 데이터 분석 소개, ISBN 978-3-935702-41-6

CLT는 모집단 평균과 같은 것에 대해 추론 할 때 매우 유용합니다. 개별 측정의 일종의 선형 조합을 계산하여 계산하기 때문입니다. 그러나 개별 관측치, 특히 미래 관측치 ( 예 : 예측 간격) 에 대해 추론하려고 할 때 분포의 꼬리에 관심이있는 경우 정규성 편차가 훨씬 더 중요합니다. 예를 들어 관측치가 50 개인 경우 미래 ​​관측치가 평균과 최소 3 개의 표준 편차가 될 가능성에 대해 말할 때 매우 큰 외삽 (및 믿음의 도약)을하고 있습니다.