왜도 및 첨도와 동등한 정규화가 있습니까?

데이터와 동일한 단위를 갖는 왜 도와 동등한 정규화는 무엇입니까? 마찬가지로, Kurtosis와 동등한 정규화는 무엇입니까? 이상적으로이 함수는 데이터와 관련하여 선형이어야합니다. 즉, 모든 관측치에 인수를 곱 n하면 정규화 된 왜도 및 첨도에 동일한 인수가 곱해집니다 n. 이러한 정규화 된 동등 물을 사용하면 표준 상자 및 수염 플롯 위에 오버레이를 적용 할 수 있다는 이점이 있습니다.

왜도 측정은 의도적으로 단위가 없습니다 .

일반적인 모멘트 왜곡은 표준화 된 세 번째 모멘트입니다. $E[(\frac{X-\mu}{\sigma})^3]$.

중앙에 있지만 표준화하지 않으면 $\mu_3=E[(X-\mu)^3]$... 그것은 보통 입방체 단위 입니다.

같은 단위로 무언가를 원한다면 $X$, 우리는 분산의 제곱근을 취하고 원래 데이터의 동일한 단위로 무언가를 얻는 것과 같은 방식으로 큐브 루트를 가져와야합니다. (그러나 많은 패키지가 음의 제곱근을 취하지 않기 때문에 다음과 같이 계산해야 할 수도 있습니다.$\quad\text{sign}(X-\mu)\times |E(X-\mu)^3|^{1/3}\:$.)

그것이 얼마나 유용한 지 잘 모르겠습니다.

두 가지 Pearson 왜도 측정과 같은 다른 왜도 측정의 경우 $\sigma$.

샘플 왜도 측정의 경우 $\sigma$ 과 $\mu$ 샘플 왜도 (skewness)와 같이 일반적으로 알려지지 않은 경우 일반적으로 자체 샘플 추정치로 대체합니다.

첨도는 같은 패턴을 따릅니다. 모멘트 첨도의 경우 데이터로 확장 된 것을 얻으려면 표준화되지 않은 네 번째 모멘트 의 네 번째 근본을 가져와야 합니다.

다른 첨도 척도의 일부에는 다음과 같이 곱하면됩니다. $\sigma$.

왜도 및 첨도는 모양 특성입니다. 따라서, 공이 둥근 물체라고 말하면 물체의 반지름은 중요하지 않습니다. 작은 공이나 큰 공이 될 수 있습니다 . 반면에 작은 공이나 큰 입방체라고 할 때는 모양이 아니라 물체의 크기를 말합니다 .

이와 관련하여 표준 편차는 분포의 크기이므로 왜도 및 첨도는 크기 별로 정규화 됩니다. 표준 편차는 역학에 속하며, 비대칭 및 첨도는 형상에 속한다고 말할 수도 있습니다. 따라서 아니요, 변수의 측정 단위로 가질 필요는 없습니다. 크기와 모양이 분리되어 있습니다. 크고 작은 공은 똑같이 둥글습니다 . 즉,이 경우 크기는 중요하지 않습니다. :)

영역에 분포 된 벡터 표시 $R$0과 첫 번째 순간이 이미 정규화되었다고 가정 해 봅시다. 두 번째 순간은$M_2 = \int_R {x x^T} |dx|$따라서 대각선 화를 찾을 수 있다면 $M_2 = P\Lambda^2 P^T$우리는 정의 할 수있을 것입니다

두 번째 모멘트의 기하학적 의미는 "방향"이며, 이는 대각선 화가 두 번째 모멘트를 정규화한다는 사실에 의해 정당화됩니다. 이 정규화에 따라 왜도를 계산할 때이를 Mardia 's skewness 라고 합니다.