주사위를 떨어 뜨리는 공식

우선이 질문을 어디에 게시 해야할지 잘 모르겠습니다. 통계 문제가 NP-Complete인지 프로그래밍 방식으로 해결하지 않는지 묻습니다. 통계 문제가 중심이기 때문에 여기에 게시하고 있습니다.

문제를 해결하기위한 더 나은 공식을 찾으려고합니다. 문제는 만약 내가 4d6 (4 보통 6면 주사위)을 가지고 그들을 한꺼번에 굴리면 가장 낮은 숫자의 주사위를 제거하고 (“떨림”이라고 함) 나머지 3을 합하면 각각의 가능한 결과의 확률은 얼마입니까? ? 나는 대답이 이것이라는 것을 안다.

Sum (Frequency): Probability
3   (1):         0.0007716049
4   (4):         0.0030864198
5   (10):        0.0077160494
6   (21):        0.0162037037
7   (38):        0.0293209877
8   (62):        0.0478395062
9   (91):        0.0702160494
10  (122):       0.0941358025
11  (148):       0.1141975309
12  (167):       0.1288580247
13  (172):       0.1327160494
14  (160):       0.1234567901
15  (131):       0.1010802469
16  (94):        0.0725308642
17  (54):        0.0416666667
18  (21):        0.0162037037

평균은 12.24이고 표준 편차는 2.847입니다.

나는 무차별 대항으로 위의 답변을 찾았으며 그에 대한 공식이 있는지 여부를 모르겠습니다. 나는이 문제가 NP-Complete이라고 생각하므로 무차별 한 힘으로 만 해결할 수있다. 3d6 (3 보통 6면 주사위)의 모든 확률을 얻은 다음 각각을 위로 기울일 수 있습니다. 모든 주사위를 보관할 때 빠른 공식을 가지기 때문에 이것은 무차별보다 빠릅니다.

나는 모든 주사위를 대학에 유지하기 위해 공식을 프로그래밍했습니다. 나는 통계 교수에게 그것에 대해 물었고 그는 이 페이지 를 발견 하고 나에게 설명했다. 이 공식과 무차별 대입 성능에는 큰 차이가 있습니다. 50d6은 20 초가 걸렸지 만 8d6은 40 초 후에 가장 낮은 충돌이 발생했습니다 (크롬에 메모리 부족).

이 문제가 NP-Complete입니까? 만약 그렇다면, 증거를 제시하고, 그렇지 않다면 그것을 해결하기 위해 무브 러트 포스 공식을 제공하십시오.

NP-Complete에 대해 잘 모르므로 NP, NP-Hard 또는 다른 것을 생각할 수 있습니다. NP-Completeness에 대한 증거는 내가 그것을 요구하는 유일한 이유는 사람들이 추측하지 못하도록하는 것입니다. 그리고 내가 일한 지 오랜 시간이 지났으므로 나와 함께 맨손으로하십시오 : 나는 통계를 기억하지 못하고 이것을 해결해야 할 수도 있습니다.

이상적으로는 N이 떨어질 때 Y면이있는 X 개의 주사위 수에 대한보다 일반적인 공식을 찾고 있지만 훨씬 더 간단한 것으로 시작하고 있습니다.

편집하다:

또한 주파수를 출력하는 공식을 선호하지만 확률 만 출력하는 것이 허용됩니다.

관심있는 사람들을 위해 GitHub 에서 JavaScript로 whuber의 답변을 프로그래밍했습니다 (이 커밋에서는 실제로 정의 된 함수 만 테스트 사용).

해결책

결과 균등 한 기회를주는 주사위를 각각 보자 . 하자 모든 경우 값의 최소 주사위가 독립적으로 발생한다.1 , 2 , … , d = 6 K $n=4$$1, 2, \ldots, d=6$$K$$n$

조건부 인 모든 값 의 합의 분포를 고려하십시오 . 를이 합계로 하자 . 최소값이 이상인 경우 임의의 주어진 값을 형성하는 방법의 수에 대한 생성 함수 는 다음과 같습니다.K X X $n$$K$$X$$X$$k$

$$f_{(n,d,k)}(x) = x^k+x^{k+1} + \cdots + x^d = x^k\frac{1-x^{d-k+1}}{1-x}.\tag{1}$$

주사위는 독립적이기 때문에 모든 주사위가 이상의 값을 나타내는 값을 형성하는 방법의 수에 대한 생성 함수 는 다음과 같습니다.n 개의 $X$$n$$k$

$$f_{(n,d,k)}(x)^n = x^{kn}\left(\frac{1-x^{d-k+1}}{1-x}\right)^n.\tag{2}$$

이 생성 함수에는 가 초과 하는 이벤트에 대한 항이 포함 되므로 빼야합니다. 따라서 가 주어지면 값을 형성하는 방법의 수에 대한 생성 함수 는 다음과 같습니다.k X K = $K$$k$$X$$K=k$

$$f_{(n,d,k)}(x)^n - f_{(n,d,k+1)}(x)^n.\tag{3}$$

의 총합 것을주의 최대 값은 모든 값을 뺀 값의 최소 합은 같 . 따라서 생성 함수는 로 나눌 필요가 있습니다 . 주사위 조합의 일반적인 기회, 을 곱하면 확률 생성 함수가됩니다 .X − K k ( 1 / d ) $n-1$$X-K$$k$$(1/d)^n$

$$d^{-n}\sum_{k=1}^dx^{-k}\left(f_{(n,d,k)}(x)^n - f_{(n,d,k+1)}(x)^n\right).\tag{4}$$

모든 다항식 곱과 거듭 제곱은 연산에서 계산 될 수 있으므로 (볼록하고 따라서 이산 고속 푸리에 변환으로 수행 할 수 있음) 총 계산 노력은 . 특히 다항식 시간 알고리즘입니다.O ( $O(n\log n)$$O(k\,n\log n)$

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예

및 질문의 예를 살펴 보겠습니다 .d = $n=4$$d=6$

에서 조건부 의 PGF에 대한 공식 은X K ≥ $(1)$$X$$K\ge k$

$$\eqalign{ f_{(4,6,1)}(x) &= x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6 \\ f_{(4,6,2)}(x) &= x^2+x^3+x^4+x^5+x^6 \\ \ldots \\ f_{(4,6,5)}(x) &= x^5+x^6 \\ f_{(4,6,6)}(x) &= x^6 \\ f_{(4,6,7)}(x) &= 0. }$$

받는들을 제기 식으로 전력 생산( 2 $n=4$$(2)$

$$\eqalign{ f_{(4,6,1)}(x)^4 &= x^4 + 4x^5 + 10 x^6 + \cdots + 4x^{23} + x^{24} \\ f_{(4,6,2)}(x)^4 &= x^8 + 4x^9 + 10x^{10}+ \cdots + 4x^{23} + x^{24} \\ \ldots \\ f_{(4,6,5)}(x)^4 &=x^{20} + 4 x^{21} + 6 x^{22} + 4x^{23} +x^{24}\\ f_{(4,6,6)}(x)^4 &= x^{24}\\ f_{(4,6,7)}(x)^4 &= 0 }$$

공식 의 연속적인 차이점은 다음 과 같습니다.$(3)$

$$\eqalign{ f_{(4,6,1)}(x)^4 - f_{(4,6,2)}(x)^4 &= x^4 + 4x^5 + 10 x^6 + \cdots + 12 x^{18} + 4x^{19} \\ f_{(4,6,2)}(x)^4 - f_{(4,6,3)}(x)^4 &= x^8 + 4x^9 + 10x^{10} + \cdots + 4 x^{20} \\ \ldots \\ f_{(4,6,5)}(x)^4 - f_{(4,6,6)}(x)^4 &=x^{20} + 4 x^{21} + 6 x^{22} + 4x^{23} \\ f_{(4,6,6)}(x)^4 - f_{(4,6,7)}(x)^4 &= x^{24}. }$$

공식 의 결과 합계 는$(4)$

$$6^{-4}\left(x^3 + 4x^4 + 10x^5 + 21x^6 + 38x^7 + 62x^8 + 91x^9 + 122x^{10} + 148x^{11} + \\167x^{12} + 172x^{13} + 160x^{14} + 131x^{15} + 94x^{16} + 54x^{17} + 21x^{18}\right).$$

예를 들어, 상위 세 개의 주사위를 합산하는 기회 의 계수 , 같음x $14$$x^{14}$

$$6^{-4}\times 160 = 10/81 = 0.123\,456\,790\,123\,456\,\ldots.$$

그것은 질문에 인용 된 확률과 완벽하게 일치합니다.

그런데 평균 (이 결과에서 계산)은 이며 표준 편차는 입니다.$15869/1296 \approx 12.244598765\ldots$$\sqrt{13\,612\,487/1\,679\,616}\approx 2.8468444$

대신에 주사위에 대한 유사한 (최적화되지 않은) 계산 은 0.5 초 미만으로 걸렸으며 이는 계산이 까다로운 알고리즘이 아니라는 주장을 뒷받침했습니다. 다음은 분포의 주요 부분에 대한 도표입니다.n = $n=400$$n=4$

최소 는 일 가능성이 높고 합 는 정규 분포 ( 매우 가깝기 때문에 (평균은 이고 표준 편차는 약 ) 평균은 매우 가까우며 표준 편차는 매우 가까워 야합니다 . 이것은 플롯이 잘 설명되어 있음을 잘 설명합니다. 실제로, 정확한 계산은 평균 보다 큰 의 평균을 제공하고 약 의 표준 편차 는(1) X ( 400 × 7 / 2 , 400 × 35 / 12 ) 1400 34.1565 1400 - 1 = 1,399 34.16 2.13 × 10 - 32 1399 1.24 × 10 - 31 $K$$1$$X$$(400\times 7/2, 400\times 35/12)$$1400$$34.1565$$1400-1=1399$$34.16$$2.13\times 10^{-32}$$1399$$1.24\times 10^{-31}$$\sqrt{400\times 35/12}$ .

편집 : @ SkySpiral은 아래 수식을 작동시키는 데 문제가있었습니다. 나는 현재 문제가 무엇인지 알아낼 시간이 없으므로이 글을 읽는다면 그것이 틀렸다는 가정하에 진행하는 것이 가장 좋습니다.

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다양한 주사위, 측면 및 방울의 일반적인 문제는 확실하지 않지만 드롭 1 사례에 대한 효율적인 알고리즘을 볼 수 있다고 생각합니다. 한정자는 그것이 정확하다는 것을 완전히 확신하지 못하지만, 지금은 결함을 볼 수 없다는 것입니다.

주사위를 떨어 뜨리지 마십시오. 가정 나타내는 다이 일을하고 있다고 가정 합계 나타내는 주사위. 그때 N Y N$X_n$$n$$Y_n$$n$

$$p(Y_n = a) = \sum_k p(Y_{n-1} = a - k)p(X_n=k)$$

이제 하나의 주사위가 떨어질 때 이 주사위 의 합 이라고 가정 합니다. 그때$Z_n$$n$

$$p(Z_n = a) = p(\text{$n$th die is the smallest})p(Y_{n-1} = a) + \\ p(\text{$n$th die is not the smallest})\sum_k p(Z_{n-1} = a - k)p(X_n=k)$$

을 최소 다이 의 분포로 정의하면$M_n$$n$

$$p(Z_n = a) = p(X_n \leq M_{n-1})p(Y_{n-1} = a | X_n \leq M_{n-1}) + \\ p(X_n > M_{n-1})\sum_k p(Z_{n-1} = a - k)p(X_n=k | X_n > M_{n-1})$$

우리는 다음을 사용하여 을 계산할 수 있습니다$M_n$

$$p(M_n = a) = p(X_n \leq M_{n-1})p(X_n = a |X_n \leq M_{n-1}) + p(X_n > M_{n-1})p(M_{n-1} = a|X_n > M_{n-1})$$

어쨌든 이것은 모두 및 기반의 동적 프로그래밍 알고리즘을 제안합니다 . 2 차 여야합니다 .$Y_n, Z_n$$M_n$$n$

편집 : 계산 방법에 대한 의견이 제기되었습니다 . 이후 각 단지 우리가 모든 가능성에 걸쳐 합계 수, 1 ~ 6의 값을 취할 수 :$p(X_n \leq M_{n-1})$$X_n, M_{n-1}$

$$p(X_n \leq M_{n-1}) = \sum_{a,b} p(X_n = a, M_{n-1} = b, a \leq b)$$

유사하게 는 Bayes 규칙을 적용한 다음 가능한 값을 합산하여 계산할 수 있습니다 .$p(X_n = k | X_n > M_{n-1})$$X_n, M_{n-1}$

나는 테스트 할 때 모든 가능성을 열거하는 데 덜 의존하면서 순수한 무차별 대국의 결과와 일치하는 것처럼 보이는 합리적인 알고리즘을 가지고 있습니다. 실제로 위의 4d6, drop 1보다 더 일반적입니다.

먼저 몇 가지 표기법 : 는 면 (정수 값 ~ )으로 주사위를 굴리고 있으며 가장 높은 주사위 만 고려 것을 나타냅니다 . 출력은 주사위 값의 순서입니다. 예를 들어 4 개의 주사위에 를 굴린 경우 은 산출 합니다. (이를 "시퀀스"라고 부르지 만 순서는 중요하지 않습니다. 특히 우리가 결국 관심을 갖는 것은 시퀀스의 합이기 때문입니다.)$X_NdY$$X$$Y$$1$$Y$$N$$4_3d6$$3, 4, 5$$1, 3, 4, 5$

확률 (또는 더 구체적으로, )는 원래의 문제의 단순화 된 버전이며, 여기서 우리는 특정 주사위 세트만을 고려하고 있으며, 모든 가능한 세트가 주어진 합계.$P(X_NdY = S)$$P(4_3d6 = S)$

가정 갖는 고유 값, 되도록, , 각 의 카운트 갖는다 . 예를 들어 인 경우 , 및 .K S 0 , s의 (1) , . $S$$k$$s_0, s_1, ..., s_k$$s_i > s_{i+1}$$s_i$$c_i$$S = 3, 4, 4, 5$$(s_0,c_0) = (5,1)$$(s_1,c_1) = (4,2)$$(s_2,c_2) = (3,1)$

다음과 같은 방법으로 를 계산할 수 있습니다 .$P(X_NdY = S)$

$$P(X_NdY = S) = \frac{ \left( \prod_{i=0}^{k-1} {X - \sum_{h=0}^{i-1} c_h \choose c_i} \right) \left( \sum_{j=0}^{X-N} { c_k+X-N \choose c_k+X-N-j} (s_k-1)^j \right)}{ Y^X }$$

꽤 지저분합니다.

제품 표현 은 의 가장 작은 값을 제외한 모든 값을 반복 하고 해당 값이 주사위에 분산 될 수있는 모든 방법을 계산합니다. 들어 , 그건 그냥 하지만, 대한 , 우리는 제거해야 이미 따로 설정을왔다 주사위 , 마찬가지로에 대한 제거해야한다 .$\prod_{i=0}^{k-1}$$S$$s_0$$X \choose c_i$$s_1$$c_0$$s_0$$s_i$$\sum_{h=0}^{i-1}c_h$

합계 식 은 와 함께 드롭되지 않은 주사위의 가 와 같은 가능성에 대한 모든 가능성을 반복 합니다. 를 값으로 사용하여 삭제되지 않은 주사위의 가능한 조합에 영향을주기 때문입니다 .$\sum_{j=0}^{X-N}$$s_k$$s_k$

예를 들어 고려해 보겠습니다 .$P[4_3d6=(5,4,4)]$

$$(s_1, c_1) = (5, 1)$$ $$(s_2, c_2) = (4, 2)$$

따라서 위의 공식을 사용하십시오.

$$P[4_3d6=(5,4,4)] \\ = \frac{ {4 \choose 1} \left( {3 \choose 3} \cdot 3^0 + {3 \choose 2} \cdot 3^1 \right) }{ 6^4 } \\ = \frac{5}{162} = 0.0\overline{308641975}$$

요약에서 및 경우 수식은 세분화되어 첫 번째 항은 지며,이 항은 미정이며 로 처리해야합니다 . 이러한 경우, 실제로 합산이 전혀 필요하지 않으며, 드롭 된 주사위는 모두 값을 가지 생략 할 수 있습니다 ., J = 0 0 0 1 S K = $s_k=1$$j=0$$0^0$$1$$s_k = 1$

이제 여기에 약간의 무력에 의존해야하는 곳이 있습니다. 원래 문제는 합계가 어떤 값일 확률을 계산하는 것이 는 떨어 뜨린 후 남은 개별 주사위를 나타냅니다. 이는 합이 주어진 값인 모든 가능한 시퀀스 (순서 무시)에 대한 확률을 더해야 함을 의미합니다 . 아마도 모든 값에 대해 이것을 한 번 에 계산하는 공식이 있을 수도 있지만 아직 브로 칭을 시도조차하지 않았습니다.S $X_NdY$$S$$S$

나는 이것을 파이썬에서 먼저 구현했으며, 위의 방법은 수학적으로 표현하려는 시도입니다. 내 파이썬 알고리즘은 정확하고 합리적입니다. 의 전체 분포를 계산하는 경우에 최적화 할 수 있으며 , 나중에 수행하겠습니다.$\sum X_NdY$