2 차 Taylor 시리즈를 사용한 오류 전파

John Rice의 "수학적 통계 및 데이터 분석"텍스트를 읽고 있습니다. 우리는 랜덤 변수의 예상 값과 분산을 근사화하는 것에 관심이 있습니다. $Y$ . 랜덤 변수의 기대 값과 분산을 계산할 수 있습니다 $X$ 우리는 관계를 알고 $Y = g(X)$ . 따라서 예상 값과 분산을 근사화 할 수 있습니다. $Y$ 테일러 시리즈 확장을 사용하여 $g$ 약 $\mu_X$ .

162 쪽에서 그는 3 가지 방정식을 나열합니다.

기대 값 $Y$ 1 차 Taylor 시리즈 확장 사용. 그것은: $\mu_Y \approx g(\mu_X)$ . 이것은 내 질문에서 나중에 $E(Y_1)$ .
의 분산 $Y$ 1 차 Taylor 시리즈 확장 사용. 그것은: $\sigma_Y^2 \approx \sigma_X^2 (g'(\mu_X))^2$ . 이것은 내 질문에서 나중에 $Var(Y_1)$ .
기대 값 $Y$ 2 차 Taylor 시리즈 확장을 사용합니다. 그것은 $\mu_Y \approx g(\mu_X) + \frac12 \sigma_X^2 g''(\mu_X)$ . 이것은 나중에 제 질문에서 합니다. $E(Y_2)$

Taylor 시리즈 확장에서 두 가지 순서를 사용하기 때문에 대해 두 가지 표현이 있습니다 $Y$ . 식 1과 2는 $Y_1 = g(X) \approx g(\mu_X) + (X-\mu_X)g'(\mu_X)$ 냅니다. 수학 식 3은 $Y_2 = g(X) \approx g(\mu_X) + (X-\mu_X)g'(\mu_X) + \frac12 (X-\mu_X)^2 g''(\mu_X)$ 냅니다.

특히 대한 방정식 $Var(Y_2)$ 은 제공되지 않습니다. 나중에, 저자의 분산에 대한 식을 사용하는 것 $Y_1$ 사실 그가 예상 값을 참조하는 경우 (수학 식 2), $Y_2$ (수학 식 3). 이것은 을 의미하는 것 같습니다 $Var(Y_2) = Var(Y_1)$ .

손으로 을 계산하려고 시도했지만 다소 복잡한 표현이 나타납니다. 내 작품은 다음과 같습니다 (결국 조건을 얻었으므로 중단되었습니다 ) : $Var(Y_2)$ $X^3$

\begin{aligned} V a r (Y_{2}) & = E [(g (μ_{X}) + (X - μ_{X}) a + \frac{1}{2} (X - μ_{X})^{2} b - g (μ_{X}) - \frac{1}{2} σ_{X}^{2} b)^{2}] \\ = E [((X - μ_{X}) a + {(\frac{1}{2} (X - μ_{X})^{2} - \frac{1}{2} σ_{X}^{2}) b)}^{2}] \\ = E [(c a + {(\frac{1}{2} c^{2} - \frac{1}{2} σ_{X}^{2}) b)}^{2}] \\ = E [c^{2} a^{2} + c a (c^{2} - σ_{X}^{2}) b + \frac{1}{4} (c^{2} - σ_{X}^{2})^{2} b^{2}] \\ = E [(X^{2} - 2 X μ_{X} + μ_{X}^{2}) a^{2} + (X - μ_{X}) a ((X^{2} - 2 X μ_{X} + μ_{X}^{2}) - σ_{X}^{2}) b \\ + \frac{1}{4} ((X^{2} - 2 X μ_{X} + μ_{X}^{2}) - σ_{X}^{2})^{2} b^{2}] \end{aligned}

$\begin{aligned} Var(Y_2) &= E[( g(\mu_X) + (X-\mu_X)a + \frac12 (X-\mu_X)^2 b - g(\mu_X) - \frac12 \sigma_X^2 b )^2] \\ &= E\left[((X-\mu_X)a + \left(\frac12 (X-\mu_X)^2 - \frac12 \sigma_X^2)b\right)^2\right] \\ &= E\left[(ca + \left(\frac12 c^2 - \frac12 \sigma_X^2)b\right)^2\right] \\ & = E[c^2 a^2 + ca(c^2 - \sigma_X^2)b + \frac14(c^2-\sigma_X^2)^2 b^2] \\ & = E[(X^2 - 2X \mu_X + \mu_X^2)a^2 + (X-\mu_X)a((X^2 - 2X\mu_X + \mu_X^2) - \sigma_X^2)b \\ & + \frac14((X^2 - 2X\mu_X + \mu_X^2)-\sigma_X^2)^2 b^2] \end{aligned}$

위의 방정식에서 , , 입니다. 는 무엇입니까 ? $a = g'(\mu_X)$ $b = g''(\mu_X)$ $c = X-\mu_X$ $Var(Y_2)$

감사.

self-study mathematical-statistics error

— rand
소스

왜 에서 멈췄 습니까? 2 차 근사의 이차 함수이기 때문에 , 그 변화는 일반적으로 포함 할 것이다 모멘트 최대 . 세 번째 순간은 0 일 수 있지만, 네 번째 순간은 분명히 나타나고 아무 것도 취소되지 않습니다.

X^{3}

$X^3$

X

$X$

X

$X$

2 \cdot 2 = 4

$2 \cdot 2 = 4$

— whuber

라고 가정하면 다음과 같이 대해 의 2 차 Taylor 확장을 사용하여 의 근사 분산을 도출 할 수 있습니다 . $Y=g(X)$ $Y$ $g(X)$ $\mu_X=\mathbf{E}[X]$

\begin{array}{rcl} V a r [Y] & = & V a r [g (X)] \\ \approx & V a r [g (μ_{X}) + g^{'} (μ_{X}) (X - μ_{X}) + \frac{1}{2} g^{″} (μ_{X}) (X - μ_{X})^{2}] \\ = & (g^{'} (μ_{X}))^{2} σ_{X}^{2} + \frac{1}{4} (g^{″} (μ_{X}))^{2} V a r [(X - μ_{X})^{2}] \\ + g^{'} (μ_{X}) g^{″} (μ_{X}) C o v [X - μ_{X}, (X - μ_{X})^{2}] \\ = & (g^{'} (μ_{X}))^{2} σ_{X}^{2} + \frac{1}{4} (g^{″} (μ_{X}))^{2} E [(X - μ_{X})^{4} - σ_{X}^{4}] \\ + g^{'} (μ_{X}) g^{″} (μ_{X}) (E (X^{3}) - 3 μ_{X} (σ_{X}^{2} + μ_{X}^{2}) + 2 μ_{X}^{3}) \\ = & (g^{'} (μ_{X}))^{2} σ_{X}^{2} \\ + \frac{1}{4} (g^{″} (μ_{X}))^{2} (E [X^{4}] - 4 μ_{X} E [X^{3}] + 6 μ_{X}^{2} (σ_{X}^{2} + μ_{X}^{2}) - 3 μ_{X}^{4} - σ_{X}^{4}) \\ + g^{'} (μ_{X}) g^{″} (μ_{X}) (E (X^{3}) - 3 μ_{X} (σ_{X}^{2} + μ_{X}^{2}) + 2 μ_{X}^{3}) \end{array}

$\begin{eqnarray*} \mathbf{Var}[Y] &=& \mathbf{Var}[g(X)]\\ &\approx& \mathbf{Var}[g(\mu_X)+g'(\mu_X)(X-\mu_X)+\frac{1}{2}g''(\mu_X)(X-\mu_X)^2]\\ &=& (g'(\mu_X))^2\sigma_{X}^{2}+\frac{1}{4}(g''(\mu_X))^2\mathbf{Var}[(X-\mu_X)^2]\\ & & +g'(\mu_X)g''(\mu_X)\mathbf{Cov}[X-\mu_X,(X-\mu_X)^2]\\ &=& (g'(\mu_X))^2\sigma_{X}^{2}+\frac{1}{4}(g''(\mu_X))^2\mathbf{E}[(X-\mu_X)^4-\sigma_{X}^{4}]\\ & & +g'(\mu_X)g''(\mu_X)\left(\mathbf{E}(X^3)-3\mu_X(\sigma_{X}^{2}+\mu_{X}^{2})+2\mu_{X}^{3}\right)\\ &=& (g'(\mu_X))^2\sigma_{X}^{2}\\ & & +\frac{1}{4}(g''(\mu_X))^2\left(\mathbf{E}[X^4]-4\mu_X\mathbf{E}[X^3]+6\mu_{X}^{2}(\sigma_{X}^{2}+\mu_{X}^{2})-3\mu_{X}^{4}-\sigma_{X}^{4}\right)\\ & & +g'(\mu_X)g''(\mu_X)\left(\mathbf{E}(X^3)-3\mu_X(\sigma_{X}^{2}+\mu_{X}^{2})+2\mu_{X}^{3}\right)\\ \end{eqnarray*}$

@ whuber가 주석에서 지적했듯이 의 세 번째 및 네 번째 중심 모멘트를 사용하여 약간 정리할 수 있습니다 . 중심 모멘트는 됩니다. 공지 사항이 . 이 새로운 표기법을 사용하면 $X$ $\mu_k=\mathbf{E}[(X-\mu_X)^k]$ $\sigma_{X}^{2}=\mu_2$

V a r [Y] \approx (g^{'} (μ_{X}))^{2} σ_{X}^{2} + g^{'} (μ_{X}) g^{″} (μ_{X}) μ_{3} + \frac{1}{4} (g^{″} (μ_{X}))^{2} (μ_{4} - σ_{X}^{4})

$\mathbf{Var}[Y]\approx(g'(\mu_X))^2\sigma_{X}^{2}+g'(\mu_X)g''(\mu_X)\mu_3+\frac{1}{4}(g''(\mu_X))^2(\mu_4-\sigma_{X}^{4})$

— 가정 된
소스

이것이 올바른 접근 방법이지만 와 사이의 공분산을 포함하는 것을 잊지 마십시오 .

X - μ_{X}

$X-\mu_X$

(X - μ_{X})^{2}

$(X-\mu_X)^2$

— whuber

@ whuber 그렇습니다. 지적 해 주셔서 감사합니다. 나는 이것을 곧 편집 할 것이다.

— 22:41에 정상적인

두 번째, 세 번째 및 네 번째 중심 모멘트 ( , 및 답변을 작성하면 문제를 해결할 수 있습니다 . 넌 받아야 .

σ^{2}

$\sigma^2$

μ_{3}

$\mu_3$

μ_{4}

$\mu_4$

σ^{2} g^{'} (μ)^{2} + μ_{3} g^{'} (μ) g^{″} (μ) + \frac{1}{4} (μ_{4} - σ^{4}) g^{″} (μ)^{2}

$\sigma^2 g'(\mu )^2 + \mu_3 g'(\mu ) g''(\mu )+\frac{1}{4} \left(\mu_4-\sigma ^4\right) g''(\mu )^2$

— whuber

@ jrand-사과드립니다. 나는 당신이 당신의 원래 게시물에 이것을 가지고 있다는 것을 몰랐습니다. 그러나 글을 조판하는 데 시간이 걸리기 때문에 게시물을 삭제하지 않습니다.

— 가정 정상적인

@Max, whuber : 답변과 설명 감사합니다.

— jrand