종속 변수의 합의 평균을 어떻게 찾습니까?

독립 변수의 합의 평균이 각 독립 변수의 평균의 합이라는 것을 알고 있습니다. 이것은 종속 변수에도 적용됩니까?

기대 (평균을 취하는 것)는 선형 연산자 입니다.

이는 무엇보다도 독립 여부에 관계없이 두 개의 임의 변수 X 및 Y (예상치가 존재하는 )에 대해 $\mathbb{E}(X + Y) = \mathbb{E}(X) + \mathbb{E}(Y)$ 를 의미합니다.$X$$Y$

각 기대 값 E ( X i ) 가 존재 하는 한 E ( ∑ n i = 1 X i ) = ∑ n i = 1 E ( X i )가 되도록 일반화 (예 : 유도 ) 할 수 있습니다.$\mathbb{E}\left(\sum_{i=1}^n X_i\right) = \sum_{i=1}^n \mathbb{E}(X_i)$$\mathbb{E}(X_i)$

예, 변수의 영향을 받더라도 합의 평균은 평균의 합과 같습니다. 그러나 이것은 분산에는 적용되지 않습니다! 따라서 독립 변수 또는 종속이지만 상관되지 않은 변수의 경우 $\mathrm{Var}(X + Y) = \mathrm{Var}(X) + \mathrm{Var}(Y)$ 인 반면 , 일반 공식은 V a r ( X + Y ) = V a r ( X ) +$\mathrm{Var}(X + Y) = \mathrm{Var}(X) + \mathrm{Var}(Y) + 2\mathrm{Cov}(X, Y)$ 여기서$\mathrm{Cov}$ 는변수의공분산입니다.

TL; DR :
그것이 존재한다고 가정하면, 평균은 기대 값이고, 기대 값은 적분이며, 적분은 합에 대한 선형성 특성을가집니다.

$Y_n = \sum_{i=1}^n X_i$$E(Y_n)$$\mathbf X$$n$$f_{\mathbf X}(\mathbf x)= f_{X_1,...,X_n}(x_1,...,x_n)$$D = S_{X_1} \times ...\times S_{X_n}$

$$E[Y_n] = \int_D Y_nf_{\mathbf X}(\mathbf x)d\mathbf x$$

$n$

$$E[Y_n] = \int_{S_{X_n}}...\int_{S_{X_1}}\Big[\sum_{i=1}^n X_i\Big]f_{X_1,...,X_n}(x_1,...,x_n)dx_1...dx_n$$

적분 의 선형성을 사용하여 분해 할 수 있습니다

$$= \int_{S_{X_n}}...\int_{S_{X_1}}x_1f_{X_1,...,X_n}(x_1,...,x_n)dx_1...dx_n \; + ...\\ ...+\int_{S_{X_n}}...\int_{S_{X_1}}x_nf_{X_1,...,X_n}(x_1,...,x_n)dx_1...dx_n$$

$n$

$$\int_{S_{X_n}}...\int_{S_{X_1}}x_1f_{X_1,...,X_n}(x_1,...,x_n)dx_1...dx_n = \\\int_{S_{X_1}}x_1\int_{S_{X_n}}...\int_{S_{X_2}}f_{X_1,...,X_n}(x_1,...,x_n)dx_2...dx_ndx_1$$

그리고 일반적으로

$$\int_{S_{X_n}}...\int_{S_{X_j}}...\int_{S_{X_1}}x_jf_{X_1,...,X_n}(x_1,...,x_n)dx_1...dx_j...dx_n =$$ $$=\int_{S_{X_j}}x_j\int_{S_{X_n}}...\int_{S_{X_{j-1}}}\int_{S_{X_{j+1}}}...\int_{S_{X_1}}f_{X_1,...,X_n}(x_1,...,x_n)dx_1...dx_{j-1}dx_{j+1}......dx_ndx_j$$

$n$$n$$\int_{S_{X_j}}x_jf_{X_j}(x_j)dx_j$

우리가 도착한 모든 것을한데 모아

$$E[Y_n ] = E[\sum_{i=1}^n X_i] = \int_{S_{X_1}}x_1f_{X_1}(x_1)dx_1 +...+\int_{S_{X_n}}x_nf_{X_n}(x_n)dx_n$$

그러나 이제 각각의 간단한 적분은 각각의 임의 변수의 예상 값입니다.

$$E[\sum_{i=1}^n X_i] = E(X_1) + ...+E(X_n)$$ $$= \sum_{i=1}^nE(X_i)$$

우리는 관련된 임의 변수의 독립 또는 비 독립성을 결코 호출하지는 않았지만 공동 분포로만 일했습니다.