“강력한 통계 : 영향 함수에 기반한 접근법”의 2.2a.16 연습 문제에 대한 솔루션

강력한 통계 : 영향 함수에 기반한 접근 방식의 180 페이지 에서 다음 질문을 찾습니다.

• 16 : 위치 불변 추정량에 대해 항상 표시 $\varepsilon^*\leq\frac{1}{2}$. 유한 샘플 항복점에서 해당 상한을 찾습니다.$\varepsilon^*_n$두 경우 모두 $n$ 홀수 또는 $n$ 짝수이다.

두 번째 부분 (기간 이후)은 실제로 사소한 것이지만 (첫 번째로 주어진) 질문의 첫 번째 부분 (문장)을 증명하는 방법을 찾을 수 없습니다.

이 질문에 관한 책의 섹션에서 다음을 발견합니다 (p98).

정의 2 : 유한 샘플 항복점 $\varepsilon^*_n$ 견적 자 $T_n$ 샘플에서 $(x_l,\ldots, x_n)$ 에 의해 주어진다 :

$$\varepsilon^*_n(T_n;x_i,\ldots,x_n):=\frac{1}{n}\max\{m:\max_{i_1,\ldots,i_m}\sup_{y_1,\ldots,y_m}\;|T_n(z_1,\ldots,z_n)|<\infty\}$$

샘플이있는 곳 $(z_1,\ldots,z_n)$ 교체하여 얻습니다 $m$ 데이터 점수 $x_{i_1},\ldots,x_{i_m}$ 임의의 값으로 $y_1,\ldots,y_m.$

의 공식적인 정의 $\varepsilon^*$ 자체는 거의 한 페이지에 걸쳐 실행되지만 다음과 같이 생각할 수 있습니다.

$$\varepsilon^*=\underset{n\rightarrow\infty}{\lim}\varepsilon^*_n$$ 명시 적으로 정의되지는 않았지만 위치 불변은 다음을 의미한다고 추측 할 수 있습니다. $T_n$ 만족해야한다 $$T_n(x_1,\ldots,x_n)= T_n(x_1+c,\ldots,x_n+c), \text{ for all } c\in \Bbb{R}$$

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아래 의견에 whuber의 질문에 대답하려고합니다. 이 책은 견적자를 정의합니다$T_n$ p82에서 시작하여 여러 페이지로 주요 부분을 재현하려고합니다 (whuber의 질문에 대답 할 것이라고 생각합니다).

1 차원 관측치가 있다고 가정하자 $(X_1,\ldots,X_n)$독립적이고 동일하게 배포됩니다 (iid). 관측치는 일부 표본 공간에 속합니다.$\mathcal{H}$실제 라인의 하위 세트 인 $\mathbb{R}$ (자주 $\mathcal{H}$ 단순히 같다 $\mathbb{R}$그 자체로, 관측 값은 임의의 값을 가질 수 있습니다). 모수 모형은 확률 분포 군으로 구성됩니다$F_\theta$알 수없는 매개 변수 인 샘플 공간에서 $\theta$ 일부 매개 변수 공간에 속합니다 $\Theta$

...

우리는 샘플을 식별 $(X_1,\ldots,X_n)$ 경험적 분포 $G_n$, 관측 순서를 무시합니다 (거의 항상 수행됨). 공식적으로$G_n$에 의해 주어진다 $(1/n)\sum_{i=1}^n\Delta_{x_i}$ 어디 $\Delta_{X}$, 점 질량 1 in $X$. 의 견적으로$\theta$실제 통계를 고려합니다 $T_n=T_n(X_1,\ldots,X_n)=T_n(G_n)$. 넓은 의미에서 추정기는 일련의 통계로 볼 수 있습니다.$\{T_n,n\geq 1\}$ 가능한 각 샘플 크기에 대해 하나씩 $n$. 이상적으로는 관측치가 파라 메트릭 모델의 구성원에 따라 iid입니다. $\{F_\theta;\theta\in\Theta\}$ 하지만 수업 $\mathcal{F}(\mathcal{H})$ 가능한 모든 확률 분포 $\mathcal{H}$ 훨씬 큽니다.

우리는 기능적인 추정기를 고려한다 [즉, $T_n(G_n)=T(G_n)$ 모든 $n$ 과 $G_n$] 또는 기능적으로 대체 될 수 있습니다. 이는 기능이 있다고 가정합니다. $T:\mbox{domain}(T)\rightarrow\mathbb{R}$ [여기서 도메인 $T$ 모든 분포의 집합입니다 $\mathcal{F}(\mathcal{H})$ 어떤 $T$ 정의 됨]

$$T_n(X_1,\ldots,X_n)\underset{n\rightarrow\infty}{\rightarrow}T(G)$$ 실제 분포에 따라 관측치가 iid 일 확률 $G$ 에 $\mbox{domain}(T)$. 우리는 말한다$T(G)$ 의 점근 적 가치 $\{T_n;n\geq 1\}$ ...에서 $G$.

...

이 장에서 우리는 항상 연구중인 기능이 Fisher와 일관성이 있다고 가정한다 (Kallianpur and Rao, 1955).

$$T(F_\theta)=\theta\;\mbox{ for all } \theta\in\Theta$$ 이는 모형에서 추정자가 $\{T_n;n\geq 1\}$ 적절한 양을 무증상으로 측정합니다. Fisher 일관성 개념은 일반적인 일관성 또는 점근 적 편견보다 기능에 더 적합하고 우아합니다.

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오래된 통계 서적은 "불변"을 사용했을 때 예상했던 것과 약간 다른 방식으로 사용되었습니다. 모호한 용어가 지속됩니다. 보다 현대적인 내용은 "등가"입니다 (이 글 끝의 참고 문헌 참조). 현재 맥락에서 그것은 의미합니다

$$T_n(X_1+c,X_2+c,\ldots,X_n+c) = T_n(X_1,X_2,\ldots,X_n) + c$$

모든 진짜를 위해 $c$.

질문을 해결하기 위해 $T_n$ 충분히 큰 성질을 가지고 있습니다 $n$, 모두 진짜 $c$, 그리고 다 $m \le \varepsilon^{*}n$,

$$|T_n(\mathbf{X + Y}) - T_n(\mathbf{X})| = o(|c|)$$

할때는 언제나 $\mathbf Y$ ~와 다르다 $\mathbf{X}$ 기껏해야 $c$ 기껏해야 $m$ 좌표.

(이것은 고장 경계의 정의에서 가정 한 것보다 약한 조건입니다. 실제로, 우리가 실제로 가정 할 필요가있는 것은 $n$ 충분히 큰 표현 "$o(|c|)$"보다 작은 값을 보장합니다 $|c|/2$ 크기입니다.)

증거는 모순입니다. 따라서 이에 따라$T_n$ 또한 등변 량이며 $\varepsilon^{*} \gt 1/2$. 그런 다음 충분히 큰$n$, $m(n) = \lfloor \varepsilon^{*}n\rfloor$ 정수입니다 $m(n)/n \le \varepsilon^{*}$ 과 $(n-m(n))/n \le \varepsilon^{*}$. 모든 실수$a,b$ 밝히다

$$t_n(a, b) = T_n(a, a, \ldots, a,\ b, b, \ldots, b)$$

어디에 $m(n)$ $a$'모래 $n-m(n)$ $b$'에스. 변경하여$m(n)$ 우리가 결론을 내릴 좌표

$$|t(a,b) - t(0,b)| = o(|a|)$$

과

$$|t(a,b) - t(a,0)| = o(|b|).$$

에 대한 $c\gt 0$ 삼각 불평등 주장

$$\eqalign{ c = |t_n(c, c) - t_n(0, 0)| &\le |t_n(c, c) - t_n(c, 0)| + |t_n(c, 0) - t_n(0,0)| \\&= o(c) + o(c) \\&\lt c/2 + c/2 \\ &= c}$$

두 번째 줄의 엄격한 불평등은 충분히 커집니다. $n$. 그것이 의미하는 모순$c \lt c$증명 $\varepsilon^{*} \le 1/2.$

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참고 문헌

EL Lehmann, 포인트 추정 이론 . 존 와일리 1983.

본문 (3 장 1 절)과 함께 첨부 된 각주 Lehmann은

만족하는 견적 자 $\delta(X_1+a, \ldots, X_n+a) = \delta(X_1,\ldots,X_n)+a$ 모든 $a$등변 량이 라고합니다 ...

일부 저자는 이러한 추정자를 "불변"이라고 부릅니다. 이것은 추정기가 변경되지 않은 채 남아 있음을 시사하기 때문에$X_i^\prime = X_i+a$, 만족하는 기능을 위해 그 용어를 예약하는 것이 바람직하다 $u(x+a)=u(x)$ 모든 $x,a$.