정규 분포의 고차 제품에 대한 기대

정규 분포 변수가 두 개 있습니다. $X_1$ 과 $X_2$ 평균 제로 및 공분산 행렬 $\Sigma$. 나는 가치를 계산하는 데 관심이 있습니다$E[X_1^2 X_2^2]$ 의 항목의 관점에서 $\Sigma$.

나는 총 확률 법칙을 사용하여 $E[X_1^2 X_2^2] = E[X_1^2 E[X_2^2 | X_1]]$ 그러나 내면의 기대가 무엇으로 줄지 확신하지 못합니다. 다른 방법이 있습니까?

감사.

편집 : 변수는 또한 다변량 정규 분포입니다.

기대치는 분명히 제곱 척도 계수의 곱에 비례합니다. $\sigma_{11}\sigma_{22}$. 비례 상수는 변수를 표준화하여 얻습니다.$\Sigma$ 상관 관계가있는 상관 행렬에 $\rho = \sigma_{12}/\sqrt{\sigma_{11}\sigma_{22}}$.

이변 량 정규성을 가정 한 다음 https://stats.stackexchange.com/a/71303 의 분석에 따르면 변수를 다음과 같이 변경할 수 있습니다.

$$X_1 = X,\ X_2 = \rho X + \left(\sqrt{1-\rho^2}\right) Y$$

어디 $(X,Y)$ 표준 (비 관련) 이변 량 정규 분포를 가지며 계산 만 필요합니다.

$$\mathbb{E}\left(X^2 (\rho X + \left(\sqrt{1-\rho^2}\right) Y)^2\right) = \mathbb{E}(\rho^2 X^4 + (1-\rho^2)X^2 Y^2 + c X^3 Y)$$

상수의 정확한 값 $c$문제가되지 않는다. ($Y$ 회귀시 잔차 $X_2$ 에 맞서 $X_1$.) 표준 정규 분포에 대한 일 변량 기대 값 사용

$$\mathbb{E}(X^4)=3,\ \mathbb{E}(X^2) = \mathbb{E}(Y^2)=1,\ \mathbb{E}Y=0$$

그리고 그것을 지적 $X$ 과 $Y$아르 독립적 수율

$$\mathbb{E}(\rho^2 X^4 + (1-\rho^2)X^2 Y^2 + c X^3 Y) = 3\rho^2 + (1-\rho^2) + 0 = 1 + 2\rho^2.$$

이것을 곱하면 $\sigma_{11}\sigma_{22}$ 준다

$$\mathbb{E}(X_1^2 X_2^2) = \sigma_{11}\sigma_{22} + 2\sigma_{12}^2.$$

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다항식의 기대 값을 찾는 데 동일한 방법이 적용됩니다. $(X_1,X_2)$다항식이되기 때문에 $(X, \rho X + \left(\sqrt{1-\rho^2}\right)Y)$확장되면 독립 정규 분포 변수 의 다항식입니다.$X$ 과 $Y$. 에서

$$\mathbb{E}(X^{2k}) = \mathbb{E}(Y^{2k}) = \frac{(2k)!}{k!2^k} = \pi^{-1/2} 2^k\Gamma\left(k+\frac{1}{2}\right)$$

적분 $k\ge 0$ (대칭으로 모든 홀수 모멘트가 0과 같음)

$$\mathbb{E}(X_1^{2p}X_2^{2q}) = (2q)!2^{-p-q}\sum_{i=0}^q \rho^{2i}(1-\rho^2)^{q-i}\frac{(2p+2i)!}{(2i)! (p+i)! (q-i)!}$$

(모노 말에 대한 다른 모든 기대는 0과 같습니다). 이것은 초 기하 함수에 비례합니다 (거의 정의에 따라 : 관련된 조작은 깊거나 유익하지 않습니다),

$$\frac{1}{\pi} 2^{p+q} \left(1-\rho ^2\right)^q \Gamma \left(p+\frac{1}{2}\right) \Gamma \left(q+\frac{1}{2}\right) \, _2F_1\left(p+\frac{1}{2},-q;\frac{1}{2};\frac{\rho ^2}{\rho ^2-1}\right).$$

초기 하 함수 시간 $\left(1-\rho ^2\right)^q$ 0이 아닌 경우의 곱셈 보정으로 간주 $\rho$.