순간이란 무엇입니까? 그것들은 어떻게 파생됩니까?

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우리는 일반적으로 모든 모수의 모수를 추정 할 때까지 "모멘트 모멘트를 표본에 대응시키는"모멘트 추정법을 소개합니다. 정규 분포의 경우이 분포를 완전히 설명하기 때문에 첫 번째 순간과 두 번째 순간 만 필요합니다.

$E(X) = \mu \implies \sum_{i=1}^n X_i/n = \bar{X}$

$E(X^2) = \mu^2 + \sigma^2 \implies \sum_{i=1}^n X_i^2/n$

이론적 으로 다음과 같이 최대 추가 모멘트를 계산할 수 있습니다. $n$

$E(X^r) \implies \sum_{i=1}^nX_i^r /n$

어떤 순간에 대한 직관을 만들 수 있습니까? 나는 그것들이 물리학과 수학에서 개념으로 존재한다는 것을 알고 있지만, 특히 질량 개념에서 데이터 포인트로 추상화하는 방법을 모르기 때문에 직접 적용 할 수는 없습니다. 이 용어는 통계에서 특정 방식으로 사용되는 것으로 보이며 다른 분야의 사용과 다릅니다.

내 데이터의 어떤 특성에 따라 전체 ( $r$ ) 순간이 결정 됩니까?

— 콘스탄틴
소스

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이 용어는 확률 분포에 적용될 때 물리학에서와 동일한 것을 의미합니다. 참조 여기 식 갖고,

μ_{n} = \int r^{n} ρ (r) d r

$\mu_n=\int r^n\,\rho(r)\,dr$ " 고려되고 어떤 양 전하 질량이나 밀도의 분포이다 ." "고려되고있는 것"이 확률 밀도 인 경우, 해당 모멘트의 확률이 있습니다. 그것들은 생생한 순간입니다 (원점에 대한 순간). 비교하면 ... (ctd) $\rho$

— Glen_b-복지국 Monica

2

모멘트는 Quantile과 같은 랜덤 변수 분포의 매개 변수화 된 특징입니다. 모멘트는 자연수로 매개 변수화되고 분포를 완전히 특성화합니다 ( 모멘트 생성 기능 참조 ). 일부 분포의 경우 모멘트간에 완벽한 기능 의존성이있을 수 있으므로 모든 모멘트가 항상 분포를 특성화하는 데 필요한 것은 아닙니다. (1/2)

— tchakravarty

모멘트

\geq 3

$\geq 3$ 은 정규 분포의 처음 두 개에 기능적으로 의존하므로 평균과 분산을 포함하여 분포를 특성화하기에 충분합니다. (2/2)

— tchakravarty

5

(ctd) ... 수학의 모멘트는 0이 아닌 제외하고 동일합니다 ( ) (즉, 물리 화 된 형태의 일반화 된 형태 일 뿐이지 만, 단순한 기원의 변화와 동일하기 때문에 물리학자는 "어떻게 다른가?"라고 당연히 말할 것입니다. 이들은되어 동일한 경우, 확률로서 밀도이다. 나에게 '세 순간'이라고 말할 때 세 가지 모두 같은 말에 대해 이야기하고 있습니다.

μ_{n} = \int_{- \infty}^{\infty} (x - c)^{n} f (x) d x

$\mu_n=\int_{-\infty}^\infty (x - c)^n\,f(x)\,dx$

c

$c$

f

$f$

— Glen_b-복지 주 모니카

3

나는 당신이 순간과 직관 에 대해 게시 된 많은 스레드에서 답을 찾을 수 있다고 확신합니다 . 통계에 순간을 사용하여 정확히 그들이 물리와 수학에서 사용되는 동일한 방법 -이 세 가지 필드에 동일한 정의와 같은 개념이다.

— whuber

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물리 수업을 시작한 지 오랜 시간이 지났으므로이 중 잘못된 것이 있으면 알려주세요.

물리적 아날로그를 사용한 모멘트에 대한 일반적인 설명

임의의 변수 . 주위 의 의 번째 모멘트 는 다음과 같습니다. 이것은 실제 모멘트 감각에 해당합니다. 가 pdf에 의해 주어진 밀도를 가진 실제 선을 따라 점들의 집합으로 상상해보십시오 . 에서이 선 아래에 받침점을 놓고 해당 받침점을 기준으로 모멘트 계산을 시작하면 계산은 통계적 모멘트와 정확히 일치합니다. $X$ $n$ $X$ $c$

{미디엄}_{엔} (씨) = 이자형 [(엑스 - 씨)^{엔}]

$m_n(c)=E[(X-c)^n]$

X

$X$

c

$c$

대부분의 시간은 의 번째 모멘트 (지지점 0에 위치 모멘트) 0 주위의 모멘트를 의미 번째 중앙 모멘트 이다 : 이것은 받침점이 질량 중심에 놓인 순간에 해당하므로 분포가 균형을 이룹니다. 아래에서 볼 수 있듯이 순간을보다 쉽게 해석 할 수 있습니다. 분포가 균형을 이루기 때문에 첫 번째 중심 모멘트는 항상 0입니다. $n$ $X$

{미디엄}_{엔} = 이자형 [{엑스}^{엔}]

$m_n=E[X^n]$

n

$n$

X

$X$

{\hat{미디엄}}_{엔} = {미디엄}_{엔} ({미디엄}_{1}) = 이자형 [(엑스 - {미디엄}_{1})^{엔}]

$\hat m_n=m_n(m_1) =E[(X-m_1)^n]$

의 번째 표준화 된 순간 은 다음과 같습니다. 다시, 이것은 분포의 분포에 따라 모멘트를 조정하여, 특히 Kurtosis에 대한 해석을 쉽게합니다. 첫 번째 표준화 된 모멘트는 항상 0이고 두 번째 표준화 된 모멘트는 항상 1입니다. 이는 변수의 표준 점수 (z- 점수)의 순간에 해당합니다. 이 개념에 대한 훌륭한 물리적 아날로그는 없습니다. $n$ $X$

{\tilde{미디엄}}_{엔} = \frac{{\hat{미디엄}}_{엔}}{{(\sqrt{{\hat{미디엄}}_{2}})}^{엔}} = \frac{이자형 [(엑스 - {미디엄}_{1})^{엔}]}{{(\sqrt{이자형 [(엑스 - {미디엄}_{1})^{2}]})}^{엔}}

$\tilde m_n = \dfrac{\hat m_n}{\left(\sqrt{\hat m_2}\right)^n}=\dfrac{E[(X-m_1)^n]} {\left(\sqrt{E[(X-m_1)^2]}\right)^n}$

일반적으로 사용되는 순간

모든 분포에는 잠재적으로 무한한 순간이 있습니다. 충분한 순간은 거의 항상 완전히 특성화하고 분배 할 것입니다 (이를 확실하게하기 위해 필요한 조건을 도출하는 것이 순간 문제 의 일부 임 ). 4 가지 순간은 일반적으로 통계에서 많이 이야기됩니다.

평균 -첫 번째 순간 (제로 중심). 분포의 질량 중심이거나, 또는 0의 받침점에 대한 분포의 토크 모멘트에 비례합니다.
분산 -두 번째 중심 모멘트. 의 분포 가 퍼지는 정도를 나타내는 것으로 해석됩니다 . 그것은 받침점에 균형을 맞춘 분포의 관성 모멘트에 해당합니다. $X$
왜도 -세 번째 중심 모멘트 (때로는 표준화 됨). 한 방향 또는 다른 방향으로 분포의 기울어 짐 측정. 정규 분포 (비틀림이없는)에 비해 양으로 치우친 분포는 결과가 매우 높을 가능성이 낮고, 비대칭 분포는 매우 낮은 결과가 발생할 가능성이 적습니다. 물리적 유사체는 어렵지만 느슨하게 분포의 비대칭 성을 측정합니다. 예를 들어 아래 그림 은 Wikipedia에서 가져온 것입니다 .
커토 시스 -4 번째 표준화 된 모멘트, 일반적으로 4 번째 표준화 된 모멘트에서 3을 뺀 초과 쿠 르토 시스. 첨도는 가 꼬리를 기준으로 분포 중심에 더 많은 확률을 두는 정도를 측정합니다 . Kurtosis가 높을수록 평균보다 더 큰 편차가 적고 더 작은 편차가 더 자주 나타납니다. 정규 분포에 대해 종종 해석되며, 4 번째 표준화 된 모멘트는 3이므로 과도한 첨도는 0입니다. 여기서 물리적 아날로그는 훨씬 더 어렵지만 아래 그림 에서 Wikipedia의 피크가 더 높은 분포입니다. 더 큰 Kurtosis가 있습니다. $X$

우리는 직관력이 거의 없기 때문에 Kurtosis 너머의 순간에 대해서는 거의 이야기하지 않습니다. 이것은 두 번째 순간 후에 물리학 자들이 멈추는 것과 비슷합니다.

— Jayk
소스

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이것은 약간 오래된 스레드이지만 "모멘트는 자연수로 매개 변수화되고 분포를 완전히 특성화합니다"라고 쓴 Fg Nu의 의견에서 잘못된 진술을 수정하고 싶습니다.

모멘트는 분포를 완전히 특성화하지 않습니다. 구체적으로, 모든 무한한 순간 수에 대한 지식은 비록 존재하더라도 그 분포를 유일하게 결정하지는 않습니다.

필자가 가장 좋아하는 확률 책, 펠러 "확률 이론과 그 응용에 관한 Vol II"( 공통 분포의 실제 사례에 대한 나의 답변 참조 ), 227-228 페이지의 VII.3 절, 대수는 결정되지 않음 모멘트에 의해, 모든 정규수와 동일한 수의 모멘트를 갖는 다른 분포가 로그 정규와 같지만 다른 분포 함수가 있음을 의미합니다. 널리 알려진 바와 같이, 순간 생성 함수는 로그 정규에는 존재하지 않으며, 같은 순간을 가진 다른 분포에는 존재하지 않습니다.

p.에 명시된 바와 같이 228에서, 본질적으로 0이 아닌 랜덤 변수 는 모두 존재하는 순간에 의해 결정된다. $X$

\sum_{엔 = 1}^{\infty} (이자형 [{엑스}^{2 엔}])^{- 1 / (2 엔)}

$\sum_{n=1}^{\infty} (\mathbb{E}[X^{2n}])^{-1/(2n)}$

분기합니다. 이것은 if가 아니라 if입니다. 이 조건은 Lognormal을 유지하지 않으며 실제로 해당 순간에 의해 결정되지 않습니다.

다른 한편으로, 모든 무한한 모멘트 수를 공유하는 분포 (임의 변수)는 그 모멘트에서 도출 될 수있는 불평등으로 인해 크게 다를 수 있습니다.

— 마크 L. 스톤
소스

분포가 제한 될 때 이는 상당히 단순화되며,이 경우 모멘트는 항상 분포를 완전히 (고유하게) 결정합니다.

— Alex R.

@Alex Feller에서 인용 한 결과의 즉각적인 결과입니다.

— whuber

대수 생성에 모멘트 생성 기능이 존재하지 않는다고 말하는 것은 완전히 올바르지 않습니다. mgf의 가장 유용한 이론은 그것이 0을 포함하는 열린 간격으로 존재한다고 가정하고 엄격한 의미에서는 존재하지 않습니다. 그러나 그것은 0에서 나오는 광선에 존재하며 유용한 정보를 제공합니다.

— kjetil b halvorsen

@ kjetil b halvorsen, 0에서 나오는 광선에 대한 로그 노멀의 MGF 존재로부터 얻을 수있는 유용한 정보를 설명 할 수 있습니까? 그게 무슨 레이일까요?

— Mark L. Stone

@kjetil b halvorsen.에 대한 질문으로 위의 의견 범프.

— 마크 L. 스톤

2

Glen_b의 발언에 따르면, 첫 번째 순간 인 평균은 물리적 물체의 무게 중심에 해당하고 평균 주위의 두 번째 순간 인 분산은 관성 모멘트에 해당합니다. 그 후, 당신은 자신에 있습니다.

— 마이크 앤더슨
소스

3

E [x^{2}] = \int x^{2} f (x) d x

$E[x^2] = \int x^2f(x)dx$

v a r [x] = E [(x - E [x])^{2}] = \int (x - E [x])^{2} f (x) d x

$var[x]=E[(x-E[x])^2] = \int (x-E[x])^2f(x)dx$

0

이항 나무에는 각각 0.5가되는 두 개의 가지가 있습니다. 실제로 p = 0.5이고 q = 1-0.5 = 0.5입니다. 이것은 균등하게 분포 된 확률 질량으로 정규 분포를 생성합니다.

실제로 트리의 각 계층이 완료되었다고 가정해야합니다. 데이터를 빈으로 나누면 부서에서 실수를 얻지 만 반올림합니다. 글쎄, 그것은 불완전한 계층이므로, 우리는 정상에 가까운 히스토그램으로 끝나지 않습니다.

분기 확률을 p = 0.9999 및 q = 0.0001로 변경하면 비뚤어진 법선이됩니다. 확률 질량이 이동했습니다. 그것은 왜도를 설명합니다.

불완전한 계층 또는 빈이 2 ^ n 미만이면 확률 질량이없는 면적을 가진 이항 트리가 생성됩니다. 이것은 우리에게 첨도를 제공합니다.

의견 답변 :

빈 수를 결정하는 것에 대해 이야기 할 때 다음 정수로 반올림하십시오.

Quincunx 기계는 결국 이항을 통한 정규 분포에 근접하도록 공을 떨어 뜨립니다. 이러한 기계에 의해 몇 가지 가정이 이루어집니다. 뉴욕 수학 박물관의 Quincunx 머신을 사용하면 확률을 동적으로 변경할 수 있습니다. 현재 레이어가 완료되기 전에도 확률은 언제든지 변경 될 수 있습니다. 따라서 쓰레기통에 대한이 아이디어는 채워지지 않습니다.

나무에 빈 공간이있을 때의 원래 답변에서 말한 것과 달리 분포는 첨도를 보여줍니다.

나는 이것을 생성 시스템의 관점에서보고있다. 의사 결정 트리를 요약하기 위해 삼각형을 사용합니다. 새로운 결정이 내려지면 더 많은 빈이 삼각형의 밑면과 분포 측면에서 꼬리에 추가됩니다. 트리에서 하위 트리를 트리밍하면 분포의 확률 질량에 공극이 남습니다.

나는 단지 당신에게 직관적 인 감각을주기 위해 대답했습니다. 라벨? Excel을 사용하고 이항의 확률로 재생하고 예상되는 왜곡을 생성했습니다. 나는 첨도로 그렇게하지 않았으며, 움직임을 제안하는 언어를 사용하는 동안 확률 질량을 정적으로 생각하는 것이 도움이되지 않습니다. 기본 데이터 또는 공은 첨도를 유발합니다. 그런 다음이를 다양하게 분석하여 중심, 어깨 및 꼬리와 같은 설명적인 용어를 구성합니다. 우리가 함께해야 할 유일한 것은 쓰레기통입니다. 쓰레기통은 데이터가 없어도 역동적 인 삶을 살아갑니다.

— 데이비드 로크
소스

2

이것은 흥미롭지 만 끔찍한 스케치입니다. 예를 들어, 이항 트리의 레이블은 무엇입니까? 정규 분포를 얻으려면 무한한 나무가 낫습니다. 그러나 임의의 보행을 사용하거나 실수의 이진 표현을 사용하는 명백한 레이블은 정규 분포를 전혀 초래하지 않습니다. 이러한 세부 사항이 없으면 독자의 상상력에 너무 많은 것이 남습니다. 당신은 그들에 대해 자세히 설명해 주시겠습니까?

— whuber