X / Y의 분포가 Z와 동일한 경우 X의 분포가 YZ와 같은 것이 사실입니까?

X, Y 및 Z를 3 개의 독립적 인 랜덤 변수로 둡니다. X / Y의 분포가 Z와 동일한 경우 X의 분포가 YZ와 같은 것이 사실입니까?

probability ratio

— 사용자 2808118
소스

아니요. 와 가 표준 정규이고 가 표준 Cauchy 랜덤 변수 인 경우를 고려하십시오 (세 가지 모두 문제의 전제에 따라 독립적 임). 이는 그 잘 알려진 표준 코시 분포 (와 동일한 갖는다 )하지만 (이후 표준 정규 분포되어 있지 않은 존재하지 않음). 따라서 에 대한 추가 제한이 필요합니다 (Silfishfish의 답변 참조).

X

$X$

Y

$Y$

Z

$Z$

X / Y

$X/Y$

Z

$Z$

Y Z

$YZ$

E [Y Z]

$E[YZ]$

X, Y, Z

$X, Y, Z$

— Dilip Sarwate

@Dilip 나는 그것을 반례로 사용하는 것을 고려했지만 가 존재하지 않는 이유에 대한 간단한 설명을 생각할 수 없었기 때문에 그것을 멀리했다 . 깔끔한 논쟁이 있다면, 내가 생각하는 답변으로 게시해야합니다. (아마도 알 수 있듯이, 나는 의도적으로 제로와 무한대의 대답을 피 했으므로 무한하지 않은 것을 피하려고 매우 열심했습니다!)

E [Y Z]

$E[YZ]$

— Silverfish

@Dilip 는 Cauchy이므로 는 존재하지 않으므로 그 조건이 충족되지 않고 대해서는 아무 말도하지 않습니다 . 비교를 위해 : 가 Cauchy이고 가 축퇴 분포

Z

$Z$

E [Z]

$E[Z]$

E [Y Z]

$E[YZ]$

Z

$Z$

Y

$Y$

P (Y = 0) = 1

$P(Y=0)=1$ 이 있으면 나타납니다.

E [Y Z]

$E[YZ]$ 그래도 존재하지만 0과 같습니다.

E [Z]

$E[Z]$ 하지 않습니다.

— Silverfish

가장 간단하고 아마도 가장 직관적이며 가능한 반례 중 하나는

X = 1

$X=1$ 과

Y

$Y$ 없을 가능성이있는 배포판

{- 1, 0, 1, \pm \infty}

$\{-1,0,1,\pm\infty\}$ (이후

\pm 1

$\pm 1$ 고정 점입니다

y \to 1 / y

$y\to 1/y$ 과

0, \infty,

$0,\infty,$ 과

- \infty

$-\infty$ 의 정의에 문제가있다

X / Y

$X/Y$ 어떤 경우에도). 그때

Y Z

$YZ$ 분명히 일정하지 않습니다

X

$X$ 입니다.

— whuber

E [Y Z]

$E[YZ]$ 다음과 같은 경우에만 정의됩니다

E [| Y Z |]

$E[|YZ|]$ 유한하다. 그러나,

E [| Y Z |] = E [| Y | \cdot | Z |] = E [| Y |] E [| Z |]

$E[|YZ|]=E[|Y|\cdot |Z|]=E[|Y|]E[|Z|]$ 이후

| Y |

$|Y|$ 과

| Z |

$|Z|$ 독립적 인 랜덤 변수입니다. 하지만 이후

E [| Z |]

$E[|Z|]$ 유한하지 않으며

E [| Y |] > 0

$E[|Y|]>0$ 우리는 결론

E [| Y Z |]

$E[|YZ|]$ 유한하지 않다 (의 가치에 관한 문제는 없다)

0 \times \infty

$0\times\infty$ ). 따라서,

E [Y Z]

$E[YZ]$ 정의되지 않았거나 존재하지 않는 반면

E [X]

$E[X]$ 매우 존재하고 가치가 있습니다

0

$0$ .

— Dilip Sarwate

일어날 수 있습니다. 예를 들어 $X$ , $Y$ 과 $Z$ 독립 Rademacher 변수입니다. 즉, 같은 확률로 1 또는 -1 일 수 있습니다. 이 경우 $X/Y$ Rademacher이기도합니다. $Z$ , 동안 $YZ$ Rademacher이므로 분포가 동일합니다 $X$ .

그러나 일반적으로 발생하지는 않습니다. 수단이 존재하는 한, 필요한 (그러나 충분하지 않은) 조건 $X/Y$ 와 같은 분포를 갖기 위해 $Z$ , 그리고 $YZ$ 와 같은 분포를 갖기 위해 $X$ 다음과 같습니다.

E (Z) = E (X Y^{- 1}) = E (X) E (Y^{- 1})

$\mathbb{E}(Z) = \mathbb{E}(XY^{-1}) = \mathbb{E}(X)\mathbb{E}(Y^{-1})$

E (X) = E (Y Z) = E (Y) E (Z)

$\mathbb{E}(X) = \mathbb{E}(YZ) = \mathbb{E}(Y)\mathbb{E}(Z)$

두 번째 평등과 독립. 대체는 다음을 제공합니다.

E (Z) = E (Y) E (Z) E (Y^{- 1})

$\mathbb{E}(Z) = \mathbb{E}(Y) \mathbb{E}(Z) \mathbb{E}(Y^{-1})$

만약 $\mathbb{E}(Z) \neq 0$ 그때 $1 = \mathbb{E}(Y) \mathbb{E}(Y^{-1})$ 또는 그에 상응하는 한 $\mathbb{E}(Y) \neq 0$ ,

E (Y^{- 1}) = \frac{1}{E (Y)}

$\mathbb{E}(Y^{-1}) = \frac{1}{\mathbb{E}(Y)}$

이것은 일반적으로 사실이 아닙니다. 예를 들어 $Y$ 값을 취하는 번역 된 Bernouilli 변수 $1$ 또는 $2$ 같은 확률로 $\mathbb{E}(Y)=1.5$ . 그때 $Y^{-1}$ 가치를 취하다 $1$ 또는 $0.5$ 같은 확률로 $\mathbb{E}(Y^{-1})=0.75 \neq 1.5^{-1}$ . (나는 그것을 독자의 상상력에 맡기고, 번역되지 않은 Bernouilli 변수를 대신 사용해야하는 효과가 얼마나 극적 이거나 하나만 약간 변환되어 확률이 절반으로 0에 매우 가깝습니다. Rademacher 예제에는 세 가지 기대치가 모두 0이기 때문에 문제가 없습니다.이 조건으로는 충분하지 않습니다.)

우리는 이것이 어떻게 탐구 할 수 있습니다 $Y$ 더 명확한 반례를 구성하여 실패합니다. 일을 단순하게 유지하려면 $X$ 비늘이있는 Bernouilli이며 가치가 있습니다 $0$ 또는 $2$ 같은 확률로. 그때 $X/Y$ 다음 중 하나입니다 $0/1$ , $0/2$ , $2/1$ 또는 $2/2$ 같은 확률로. 분명하다 $P(X/Y=0)=\frac{1}{2}$ , $P(X/Y=1)=\frac{1}{4}$ 과 $P(X/Y=2)=\frac{1}{4}$ . 허락하다 $Z$ 동일한 분포에서 도출 된 독립 변수 여야합니다. 분포는 무엇입니까 $YZ$ ? 분포와 동일합니까? $X$ ? 우리는 그것이 불가능하다는 것을 알기 위해 전체 확률 분포를 계산할 필요조차 없습니다. 기억하기에 충분하다 $X$ 동안 0 또는 2 일 수있었습니다 $YZ$ 다음 중 하나를 곱하면 얻을 수있는 가치가 있습니다 $\{1,2\}$ 에 의해 $\{0,1,2\}$ .

이 이야기에 대한 도덕을 원한다면, 스케일되고 번역 된 Bernouilli 변수 (Rademacher 변수 포함)를 가지고 놀아보십시오. 예제와 반대 예제를 구성하는 간단한 방법이 될 수 있습니다. 지지대의 값이 적어 변수의 다양한 기능 분포를 손으로 쉽게 해결할 수 있습니다.

더 극단적으로 우리는 지원에 단일 값을 갖는 변성 변수를 고려할 수 있습니다. 만약 $X$ 과 $Y$ 타락하다 $Y\neq 0$ ) 그런 다음 $Z=X/Y$ 너무 될 것이므로 $YZ$ 의 가치와 일치합니다 $Z$ . 내 Rademacher의 예와 같이 귀하의 조건 이 충족 될 수 있음을 보여주는 상황 입니다. 대신 @whuber가 의견에서 제안한 것처럼 $X$ 타락하다 $P(X=1)$ 하지만 허용 $Y$ 더 간단한 반례를 구성하는 것은 매우 쉽습니다. 만약 $Y$ 0이 아닌 두 개의 유한 값을 취할 수 있습니다- $a$ 과 $b$ 예를 들어 긍정적 인 확률로 $X/Y$ 따라서 $Z$ , 가치를 가질 수있다 $a^{-1}$ 과 $b^{-1}$ . 지금 $YZ$ 따라서 $ab^{-1} \neq 1$ 그것의 지원에서, 같은 분포를 따를 수 없습니다 $X$ . 이것은 원래의 반례에서 지원이 일치 할 수 없다는 주장과 비슷하지만 간단합니다.

— 은어
소스

$\newcommand\E{\mathbb{E}}$ 한다고 가정

Pr (Y > 0) = 1

$\Pr(Y > 0) = 1$ . 그런 다음부터

1 / x

$1/x$ 볼록한 기능입니다

(0, \infty)

$(0, \infty)$ 젠슨의 불평등은 그 상태가

E Y = E \frac{1}{Y}

$\E Y = \E \frac{1}{Y}$ 경우에만 보유

Y

$Y$ 퇴화된다. 다음과 같은 경우에도 마찬가지입니다.

Pr (Y < 0) = 1

$\Pr(Y < 0) = 1$ 이 경우 1 / x는 오목합니다. 그래서 만약

Y

$Y$ 고정 부호이지만 변질되지 않은 경우 필요한 조건을 유지할 수 없습니다.

— Dougal

@Dougal 이것을 언급 해 주셔서 감사합니다. 글을 쓸 때 나는 그것을 포함시키는 것에 대해 생각했지만 표지판에 대한 토론이 흐름을 깨뜨릴 것이라고 느꼈습니다. 나는 단지 "Jensen의 불평등 참조"라고 말하고 Wikipedia 또는 이와 유사한 링크를 추가하는 것에 대해 생각했지만, 내가 피하려고하는 볼록한 조건에 의해 서두를 내지 않았기 때문에 그것이 좋은 생각이 아니라고 결정했습니다. 대신, RV의 비선형 함수에 대한 기대가 일반적으로 논의되는 어딘가 (CV 스레드)가 있는지 살펴보고 자연스럽게 호기심 많은 독자를 Jensen에게 인도 할 것이지만 아무것도 발견하지 못했습니다. 난 아직 좋아

— Silverfish

@Dougal 이것은 아주 간단하게 계산 된 사례들 사이에 약간의 충돌이있는 시대 중 하나입니다. 매우 쉽게 계산할 수 있으므로 잘못 이해 한 사람은 즉시 불가능하거나 부정확하다는 것을 알 수 있습니다.보다 철저하고 일반적인 치료는 실제로 도움이됩니다 어떤 조건 하에서 실제로 어떤 상태를 유지할 수 있는지 보여주십시오 (그러나 일부 독자는 따라하기가 너무 어려워서 설득력이 떨어질 수 있습니다). 에 RV

{1, 2}

$\{1,2\}$ 초보자도 왜 보여

E (1 / Y)

$E(1/Y)$ 만큼 잘 작동하지 않습니다

E (a Y + b)

$E(aY+b)$ 그러나 Jensen은 그 이유에 대해 훨씬 더 많이 말합니다!

— Silverfish

그렇습니다. 좋은 점이지만,이 관계가 보이는 것처럼 보이는 상황이 궁금합니다. 위의 의견에서 조건을 잘못 썼습니다. 물론

\frac{1}{\E Y} = \E \frac{1}{Y}

$\frac{1}{\E Y} = \E \frac{1}{Y}$ .

— Dougal

@Dougal 나는 퇴화 RV를 넘어서서 그런 관계가 처음 나타나는 것처럼 "자연스럽지 않다"고 생각합니다. 치다

Z

$Z$ 분포가 동일하다

X + Y

$X+Y$ 과

Y

$Y$ 분포가 동일하다

Z - X

$Z-X$ 그리고 세 개 모두 독립적입니다 ... 다시는 일반적으로 유지되지 않습니다.

— Silverfish