특정 Quantile로부터 분포의 합의 Quantile 계산

가정하자 $N$독립적 인 임의의 변수 : 특정 수준의 에서 양자 가 데이터로부터의 추정을 통해 알려짐 : , ..., . 이제 랜덤 변수 를 합 로 정의하겠습니다 . 레벨의 합계 분위수 값 계산하는 방법이있다 이며, 에서 ?$X_1, ..., X_N$$\alpha$$\alpha = P(X_1 < q_1)$$\alpha = P(X_N < q_N)$$Z$$Z = \sum_{i=1}^N X_i$$\alpha$$q_z$$\alpha = P(Z < q_Z)$

나는 그런 경우 등 특별한 경우에 생각 가우시안 분포를 다음 이 쉽게,하지만 난의 분포의 경우에 대해 너무 확실하지 않다 알 수 없습니다. 어떤 아이디어?$X_i$$\forall i$$X_i$

$q_Z$ 무엇이든 될 수 있습니다.

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이 상황을 이해하기 위해 예비 단순화를하겠습니다. 협력하여$Y_i = X_i - q_i$ 우리는 더 균일 한 특성을 얻습니다

$$\alpha = \Pr(X_i \le q_i) = \Pr(Y_i \le 0).$$

즉, 각 는 음의 확률이 동일합니다. 때문에$Y_i$

$$W = \sum_i Y_i = \sum_i X_i - \sum_i q_i = Z - \sum_i q_i,$$

대한 정의식 동등$q_Z$

$$\alpha = \Pr(Z \le q_Z) = \Pr(Z - \sum_i q_i \le q_Z - \sum_i q_i) = \Pr(W \le q_W)$$

와 .$q_Z = q_W + \sum_i q_i$

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의 가능한 값은 입니까? 모두 두 값에 대해 모든 확률로 동일한 분포를 갖는 경우를 고려하십시오. 하나는 음수 ( )이고 다른 하나는 양수 ( )입니다. 합계 의 가능한 값은 대해 로 제한됩니다 . 이들 각각은 확률로 발생합니다$q_W$$Y_i$$y_{-}$$y_{+}$$W$$ky_{-} + (n-k)y_{+}$$k=0, 1, \ldots, n$

$${\Pr}_W(ky_{-} + (n-k)y_{+}) = \binom{n}{k}\alpha^k(1-\alpha)^{n-k}.$$

극단은

1. 선택 및 되도록 ; 및 이이를 수행합니다. 이렇게 하면 모든 가 양수인 경우를 제외하고 가 음수가됩니다 . 이 확률은 . 일 때 초과 하므로 의 Quantile은 엄격하게 음수 여야합니다.$y_{-}$$y_{+}$$y_{-} + (n-1)y_{+} \lt 0$$y_{-}=-n$$y_{+}=1$$W$$Y_i$$1 - (1-\alpha)^n$$\alpha$$n\gt 1$$\alpha$$W$

2. 선택 및 되도록 ; 및 이이를 수행합니다. 이렇게 하면 모든 가 음수 일 때만 가 음수가됩니다 . 이 기회는 같습니다 . 일 때 보다 작으므로 의 Quantile은 엄격하게 양수 여야합니다.$y_{-}$$y_{+}$$(n-1) y_{-} + y_{+} \gt 0$$y_{-}=-1$$y_{+}=n$$W$$Y_i$$\alpha^n$$\alpha$$n\gt 1$$\alpha$$W$

이것은 의 Quantile이 음수이거나 양수일 수 있지만 0이 아님을 보여줍니다 . 크기는 얼마입니까? 와 의 완전한 선형 조합과 같아야 합니다. 이 두 값을 모두 정수로 만들면 가능한 모든 값 이 필수입니다. 을 임의의 양수 만큼 스케일링하면 및 모든 적분 선형 조합 이 적분 배수 임을 보장 할 수 있습니다 . 이후 , 그것은 이상이어야 크기 . 따라서,$\alpha$$W$$y_{-}$$y_{+}$$W$$y_{\pm}$$s$$y_{-}$$y_{+}$$s$$q_W \ne 0$$s$$q_W$$q_Z$ 이 무엇이든 상관없이 의 가능한 값 (및 )은 무제한 입니다.$n\gt 1$

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단지 에 대한 정보를 추출하는 방법 의 분포에 특정 강한 제약을하는 것입니다 방지하고 부정적인 결과를 도출하기 위해 사용되는 불균형 분포의 종류를 제한하기 위해.$q_Z$$X_i$