단순한 그리드 대신 Monte Carlo 방법을 사용하는 이유는 무엇입니까?

함수를 통합하거나 복잡한 시뮬레이션에서 Monte Carlo 방법이 널리 사용되는 것을 보았습니다. 임의의 점을 그리는 대신 함수를 통합하기 위해 점 격자를 생성하지 않는 이유를 스스로 묻습니다. 더 정확한 결과가 나오지 않습니까?

이 강의 노트 1 장과 2 장은 몇 년 전에 같은 질문을했을 때 도움이되었습니다. 간단한 요약 : 20 차원 공간에 점이있는 그리드에는 N 20 함수 평가가 필요합니다. 많이입니다. Monte Carlo 시뮬레이션을 사용하여 차원의 저주를 어느 정도 피할 수 있습니다. 몬테카를로 시뮬레이션의 수렴은 O ( N - 1 / 2 ) 이지만, 비록 느리지 만 차원 적으로 독립적 입니다.$N$$N^{20}$$O(N^{-1/2})$

물론입니다. 그러나 훨씬 더 많은 CPU 사용량이 제공됩니다. 그리드를 효과적으로 사용할 수 없게되는 많은 차원에서 문제가 특히 증가합니다.

다차원 문제에서 시뮬레이션을보다 쉽게 ​​사용할 수 있다는 점에서 이전 의견이 맞습니다. 그러나 우려 사항을 해결할 수있는 방법이 있습니다 . http://en.wikipedia.org/wiki/Halton_sequence 및 http://en.wikipedia.org/wiki/Sparse_grid를 참조하십시오 .

Monte Carlo를 고려할 때 일반적으로 거부 샘플링의 한 가지 인 반면 Markov Chain Monte Carlo를 사용하면 그리드 (또는 해당 문제에 대한 거부 샘플링)보다 다차원 매개 변수 공간을보다 효율적으로 탐색 할 수 있습니다. MCMC를 통합에 사용하는 방법은이 자습서 ( http://bioinformatics.med.utah.edu/~alun/teach/stats/week09.pdf )에 명확하게 설명되어 있습니다.

두가지 -

1. 차원의 저주를 피함으로써 더 빠른 수렴. 그리드의 대부분의 점은 상당한 추가 정보를 제공하지 않고 동일한 하이퍼 평면에 위치하기 때문입니다. 임의의 점이 N 차원 공간을 균일하게 채 웁니다. LDS가 더 좋습니다.

2. 때때로 몬테 카를로 (Monte carlo) 방법의 경우 통계적으로 임의의 점이 필요하지 않습니다. 정렬 된 그리드 포인트 순서는 통계적 특성이 좋지 않습니다.