순환 통계에서 더 높은 순간에 대한 직감

원형 통계에서, 랜덤 변수의 기대 값 원호의 값 로서 정의된다 (참조 : 위키 ). 분산 따라서 분산을 정의하기 위해 두 번째 순간이 필요하지 않았습니다! $Z$ $S$

m_{1} (Z) = \int_{S} z P^{Z} (θ) d θ

$m_1(Z)=\int_S z P^Z(\theta)\textrm{d}\theta$

V a r (Z) = 1 - | m_{1} (Z) | .

$\mathrm{Var}(Z)=1-|m_1(Z)|.$

그럼에도 불구하고, 우리는 더 높은 모멘트 나는 이것이 처음에는 자연스럽고 선형 통계의 정의와 매우 유사하다는 것을 인정합니다. 그러나 여전히 조금 불편하고 다음과 같은 것들이 있습니다.

m_{n} (Z) = \int_{S} z^{n} P^{Z} (θ) d θ .

$m_n(Z)=\int_S z^n P^Z(\theta)\textrm{d}\theta.$

질문 :

1. 위에서 정의한 더 높은 순간 (직관적으로)으로 무엇을 측정 합니까? 분포의 어떤 특성이 순간에 의해 특성화 될 수 있습니까?

2. 더 높은 모멘트를 계산할 때는 복소수의 곱셈을 사용하지만 랜덤 변수의 값은 단순히 평면의 벡터 또는 각도로 생각합니다. 이 경우 복잡한 곱셈이 본질적으로 각도를 추가한다는 것을 알고 있지만 여전히 복잡한 곱셈이 순환 데이터에 의미있는 연산입니까?

mathematical-statistics moments intuition circular-statistics

— 라스무스
소스

$P^Z$ $Z$ $1$ $Z$ $[0,2\pi)$

두 번째 질문에 관해서는 이미 "복잡한 곱셈은 본질적으로 각도를 추가하는 것"이라고 답했습니다.

— 마크 메케 스
소스

고맙습니다. 정말 도움이됩니다. (때 그것을 향해 돌진 심지어 푸리에 급수를 인정하지 않는 날 부끄러운 ...)

— 라스무스

이것은 순환 분포의 모멘트가 모멘트가 아닌 선형 분포의 특성 함수와 비교되어야한다는 것을 의미합니까?

— Rasmus

@ Rasmus : 나는 그것이 당신이 정보로 무엇을하고 싶은지에 달려 있다고 생각합니다. 그러나 일반적으로 나는 그렇습니다.

— Mark Meckes