Fisher의 정확한 테스트에 대해 : 여성이 우유 우선 컵 수를 모르는 경우 어떤 테스트가 적절 했습니까?

RA Fisher 의 유명한 차 시음 차 실험에서, 아가씨는 우유-우선 / 차-우선 컵이 몇 개 있는지에 대해 알립니다 (8 컵 중 4 개씩). 이것은 Fisher의 정확한 테스트의 고정 된 한계 총 가정을 존중합니다.

나는 친구와 함께이 테스트를 상상하고 있었지만 생각이 나에게 충격을 받았다. 숙녀가 우유-우선 컵과 차-우선 컵의 차이를 실제로 알 수 있다면, 우유-우유 / 차-우선 컵의 한계 총계와 어느 컵이 어느 것인지 파악할 수 있어야합니다.

질문은 다음과 같습니다. RA 피셔가 아가씨에게 우유-우선 컵과 차-우선 컵의 총 수를 알려주지 않았다면 어떤 테스트를 사용할 수 있었습니까?

어떤 사람들은 두 번째 마진이 디자인에 의해 고정되어 있지 않더라도 여성이 차별하는 능력에 대해 거의 정보를 전달하지 못하고 (즉, 거의 부수적) 조건을 갖추어야한다고 주장합니다. 정확한 무조건 테스트 ( Barnard에서 처음 제안 )는 귀무 가설 하에서 일반적인 Bernoulli 확률 즉, 귀무 가설 매개 변수의 모든 가능한 값에 대해 최대 p- 값을 계산해야하기 때문에 더 복잡합니다. 보다 최근에, 방해 매개 변수에 대한 신뢰 구간에 걸쳐 p- 값을 최대화하는 것이 제안되었다 : Berger (1996), "Confidence Interval p Values에서 더 강력한 테스트", The American Statistician , 50 , 4; 이 아이디어를 사용하여 정확한 크기의 정확한 테스트를 구성 할 수 있습니다.

Fisher의 정확한 테스트는 Edgington의 의미에서 무작위 배정 테스트로도 발생합니다. 실험 처리의 무작위 할당은 이러한 할당의 순열에 대한 테스트 통계 분포를 귀무 가설을 테스트하는 데 사용할 수 있습니다. 이 접근법에서 여성의 결정은 고정 된 것으로 간주됩니다 (및 우유-첫 번째 컵과 차-첫 번째 컵의 총계는 물론 순열에 의해 보존됩니다).

오늘 저는 RA Fisher의 "실험 설계"의 첫 번째 장을 읽었으며,이 단락 중 하나를 통해 제 질문의 근본적인 결함을 알게되었습니다.

즉, 숙녀가 우유 우선 컵과 차 우선 컵의 차이를 실제로 말할 수 있다고하더라도 나는 그녀가 "무한한 양의 실험으로"그 능력을 가지고 있음을 증명할 수는 없습니다 . 이런 이유로 실험자로서, 그녀는 능력이 없다는 가정 (널 가설)을 가정하고 비 승인을 시도해야한다. 그리고 원래 실험 설계 (피셔 정확한 테스트)는 충분하고 효율적이며 정당한 절차입니다.

다음은 RA Fisher의 "The Design of Experiments"에서 발췌 한 내용입니다.

실험이 대상이 두 가지 다른 종류의 물체 사이에 감각적 차별을 가지고 있지 않다는 가설을 반증 할 수 있다면, 반대의 가설을 입증 할 수 있어야한다고 주장 할 수있다. 그러나이 가설은 합리적이거나 사실 일 수 있지만 정확하지 않기 때문에 실험으로 검정 할 귀무 가설로 부적합합니다. 만약 그녀의 판단에서 그 주제가 결코 틀리지 않을 것이라고 주장된다면 우리는 다시 한번 정확한 가설을 가지고 있으며,이 가설은 단 한 번의 실패로 반증 될 수 있지만, 어느 정도의 실험으로 증명 될 수 없음을 쉽게 알 수있다 .

Barnard의 검정은 귀무 가설 하에서 귀찮은 모수를 알 수없는 경우에 사용됩니다.

그러나 레이디 테이스팅 테스트에서는 귀무 가설 하에서 귀찮은 매개 변수를 0.5로 설정할 수 있다고 주장 할 수 있습니다 (알지 못하는 레이디는 컵을 올바르게 추측 할 확률이 50 %입니다).

그런 다음 귀무 가설 하에서 올바른 추측의 수는 이항 분포가됩니다. 각 컵에 대해 50 % 확률로 8 개의 컵을 추측합니다.

다른 경우에는 귀무 가설에 대한이 사소한 50 % 확률이 없을 수도 있습니다. 고정 마진이 없으면 그 확률이 ​​무엇인지 모를 수도 있습니다. 이 경우 Barnard의 테스트가 필요합니다.

레이디 시음 차 테스트에서 Barnard의 테스트를 수행하더라도 p- 값이 가장 높은 성가신 매개 변수가 0.5이므로 사소한 이항 테스트 결과가 나오기 때문에 어쨌든 50 %가됩니다 (결과가 모두 정확한 추측 일 경우). 실제로는 4 개의 우유 첫 컵과 4 개의 차 첫 컵에 대한 2 개의 이항 테스트의 조합입니다.

> library(Barnard)
> barnard.test(4,0,0,4)

Barnard's Unconditional Test

           Treatment I Treatment II
Outcome I            4            0
Outcome II           0            4

Null hypothesis: Treatments have no effect on the outcomes
Score statistic = -2.82843
Nuisance parameter = 0.5 (One sided), 0.5 (Two sided)
P-value = 0.00390625 (One sided), 0.0078125 (Two sided)

> dbinom(8,8,0.5)
[1] 0.00390625

> dbinom(4,4,0.5)^2
[1] 0.00390625

아래는 더 복잡한 결과를 얻는 방법입니다 (예 : 2와 4와 같은 모든 추측이 정확하지 않은 경우).

(Barnard의 테스트 사용은 4-2 결과의 경우 p = 0.686이 아니라고 주장 할 수있는 성가신 매개 변수가 올바르지 않은 경우 '차 우선'에 대한 50 % 확률의 p- 값은 0.08203125입니다. 지역을 정의하는 것은 쉽지 는 않지만 다른 지역을 고려할 때 Wald의 통계를 기반으로하는 지역을 고려하면 훨씬 작아집니다. )

out <- rep(0,1000)
for (k in 1:1000) {
  p <- k/1000
  ps <- matrix(rep(0,25),5)   # probability for outcome i,j
  ts <- matrix(rep(0,25),5)   # distance of outcome i,j (using wald statistic)
  for (i in 0:4) {
    for (j in 0:4) {
      ps[i+1,j+1]  <- dbinom(i,4,p)*dbinom(j,4,p)
      pt <- (i+j)/8
      p1 <- i/4
      p2 <- j/4
      ts[i+1,j+1] <- (p2-p1)/sqrt(pt*(1-pt)*(0.25+0.25))
    }
  } 
  cases <- ts < ts[2+1,4+1]
  cases[1,1] = TRUE
  cases[5,5] = TRUE
  ps
  out[k] <- 1-sum(ps[cases])
}

> max(out)
[1] 0.08926748
> barnard.test(4,2,0,2)

Barnard's Unconditional Test

           Treatment I Treatment II
Outcome I            4            2
Outcome II           0            2

Null hypothesis: Treatments have no effect on the outcomes
Score statistic = -1.63299
Nuisance parameter = 0.686 (One sided), 0.314 (Two sided)
P-value = 0.0892675 (One sided), 0.178535 (Two sided)