두 개의 상관 된 정규 변수의 최대 분포

나는 두 개의 표준 정규 확률 변수가 말 및 있는 공동 통상의 상관 계수와 .$X_1$$X_2$$r$

의 분포 함수는 무엇입니까 ?$\max(X_1, X_2)$

에 따르면 Nadarajah 및 Kotz 2008 년 , 두 가우시안 랜덤 변수의 최대 / 최소의 정확한 분포 의 PDF $X = \max(X_1, X_2)$ 나타납니다

$$f(x) = 2 \cdot \phi(x) \cdot \Phi\left( \frac{1 - r}{\sqrt{1 - r^2}} x\right),$$

여기서 $\phi$ 는 PDF이고 $\Phi$ 는 표준 정규 분포의 CDF입니다.

$\hskip2in$

하자 의 이변 일반 PDF 수 표준 marginals와 상관 관계 . 최대 값의 CDF는 정의상$f_\rho$$(X,Y)$$\rho$

$$\Pr(\max(X, Y)\le z) = \Pr(X\le z,\ Y\le z) = \int_{-\infty}^z\int_{-\infty}^z f_\rho(x,y)dy dx.$$

이변 량 일반 PDF는 대각선 주위에서 대칭으로 (반사를 통해) 대칭 적입니다. 따라서 를 늘리면 원래의 반 무한 사각형에 동등한 확률의 두 스트립이 추가됩니다. 무한으로 두꺼운 상단은 이고 반사 된 부분은 오른쪽 스트립은 입니다.$z$$z+dz$$(-\infty, z]\times (z, z+dz]$$(z, z+dz]\times (-\infty, z]$

오른쪽 스트립의 확률 밀도는 가 스트립에있는 총 조건부 확률 인 와 의 밀도입니다 . 의 조건부 분포 는 항상 정규이므로이 전체 조건부 확률을 찾으려면 평균과 분산 만 필요합니다. 에서 의 조건부 평균은 회귀 예측 이고 조건부 분산은 "설명되지 않은"분산입니다 .$X$$z$$Y$$\Pr(Y\le z\,|\, X=z)$$Y$$Y$$X$$\rho X$$\text{var}(Y) - \text{var}(\rho X) = 1-\rho^2$

이제 우리는 조건부 평균과 분산을 알고,의 조건 CDF 주어진 표준화함으로써 얻을 수 표준 일반 CDF 및 적용 :$Y$$X$$Y$$\Phi$

$$\Pr(Y \le y\,|\, X) = \Phi\left(\frac{y-\rho X}{\sqrt{1-\rho^2}}\right).$$

이 평가에서 및 와의 밀도를 곱하는 에서 (표준 정규 PDF ) 제의 확률 밀도를 제공 (우측) 스트립$y=z$$X=z$$X$$z$$\phi$

$$\phi(z)\Phi\left(\frac{z-\rho z}{\sqrt{1-\rho^2}}\right) = \phi(z)\Phi\left(\frac{1-\rho}{\sqrt{1-\rho^2}}z\right).$$

이것을 두 배로 늘리면 균등 한 상단 스트립이 생겨서

$$\frac{d}{dz}\Pr(\max(X,Y)\le z) = \color{blue}{2}\color{black}{\phi(z)}\color{darkred}{\Phi\left(\frac{1-\rho}{\sqrt{1-\rho^2}}z\right)}.$$

재현부

나는 그들의 기원을 나타내는 요소들에 색을 입혔다 : 두 개의 대칭 스트립들에 대해 ; 무한 스트립 폭의 경우 ; 및 스트립 길이에 대한. 후자의 인수 인 는 에 조건부 로 의 표준화 된 버전입니다 .$\color{blue}2$$\color{black}{\phi(z)}$$\color{darkred}{\Phi\left(\cdots\right)}$$\frac{1-\rho}{\sqrt{1-\rho^2}}z$$Y=z$$X=z$