분산 분석 : 그룹당 샘플 수가 적은 많은 그룹의 정규성 가정 테스트

다음 상황을 가정하십시오.

우리는 작은 그룹 크기 (예 : n = 3)로 많은 수 (예 : 20)를 가지고 있습니다. 균일 분포에서 값을 생성하면 오차 분포가 균일하더라도 잔차가 거의 정상적으로 보입니다. 다음 R 코드는이 동작을 보여줍니다.

n.group = 200
n.per.group = 3

x <- runif(n.group * n.per.group)
gr <- as.factor(rep(1:n.group, each = n.per.group))
means <- tapply(x, gr, mean)
x.res <- x - means[gr]
hist(x.res)

세 그룹의 샘플 잔차를 보면 동작의 이유가 분명합니다.

$r_1 = x_1 - \text{mean}(x1, x2, x3) = x1 - \frac{x_1+x_2+x_3}{3}=\frac{2}{3}x_1 - x_2 - x_3.$

은 표준 편차가 거의 다르지 않은 임의의 변수의 합 이므로 분포는 개별 항보다 정규 분포에 상당히 가깝습니다.$r_1$

이제 시뮬레이션 된 데이터 대신 실제 데이터와 동일한 상황이 있다고 가정하십시오. 정규성에 대한 분산 분석 가정이 적용되는지 평가하고 싶습니다. 가장 권장되는 절차는 잔차 (예 : QQ-Plot)의 육안 검사 또는 잔차에 대한 정규성 테스트를 권장합니다. 위의 예와 같이 소규모 그룹에는 적합하지 않습니다.

소규모 그룹이 많은 경우 더 나은 대안이 있습니까?

이 답변에 대한 작업은 완전히 완료되지 않았습니다. 이것에 대한 통찰력이 있지만 설명하는 데 시간이 걸립니다. 이를 위해 작은 수의 표준 편차가 바이어스된다는 것을 고려하십시오. 그 이유는 두 개의 숫자 취 하면 표본 평균을 임의로 할당합니다 . 여기서 모집단 평균 는 사이의 간격 이거나 또는 있습니다. 이것은 평균적으로 입니다. 경우에 따라서,이 아니라 있음 이 바이어스가 작아진다$a<b$$\frac{a+b}2{}$$\sigma$$(a,b)$$\sigma<a$$\sigma>b$$\text{SD}<\sigma$$n>100$. 적은 수의 샘플 각각에 대한 일련의 긴 SD의 경우 SD 계산이보다 정확하고 정확하지 않습니다.

이제 좌절감을 느끼지 말고 정상적인 상황에서 SD에 작은 수의 수정을 적용 할 수 있습니다. (하! 불행에 대한 해결책이 있습니다.)

$\frac{SD(n)}{\mu(n)}\,=\,\sqrt{\frac{2}{n-1}}\,\,\,\frac{\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{n-1}{2}\right)} \, = \, 1 - \frac{1}{4n} - \frac{7}{32n^2} - \frac{19}{128n^3} + O(n^{-4})$ 참조$E[\mu]$

를 들어 , 이것이 . 이는 를 추정하기 위해 SD를 그만큼 나눠야 함을 의미합니다 .$n=3$$\Gamma(\frac{3}{2})=\frac{\sqrt{\pi }}{2}\approx0.8862269255$$\sigma$

지금 당신이 제시하는 경우에도 당신은 몇 가지 다른 일이 진행되고 있습니다. 그렇기 때문에 균일 분포의 최적 위치 측정은 평균이 아닙니다. 표본 평균과 표본 중앙값이 중간 점의 편견 추정치이지만, 표본 중간 범위, 즉 표본 최대 값과 표본 최소값의 산술 평균 (최소-편차 비 편향 추정량 UMVU)만큼 효율적 이지는 않습니다. 중간 점 추정기 (및 최대 우도 추정치).

이제 문제의 고기에. 극단적 인 값의 평균을 사용하는 경우 데이터가 실제로 균일하게 분포되어 있으면 위치 측정의 분산이 더 작아집니다. 단일 극값 꼬리가 정상일 수 있기 때문에 정규 분포 일 수 있습니다. 그러나 3 개의 표본 만 사용하면 표준 편차를 수정해야합니다.