거의 확실한 수렴은 완전한 수렴을 의미하지는 않습니다.

우리는 말을 $X_1, X_2, \ldots$ 완전히 수렴하다 $X$ 모든 경우에 $\epsilon>0$ $\sum_{n=1}^\infty \text{P}\left(|X_n-X|>\epsilon\right) <\infty$ .

보렐 칸 텔리의 명예는 완전한 수렴이 거의 확실한 수렴을 의미한다는 것을 증명하는 것입니다.

Borel Cantelli로 컨버전스를 입증 할 수없는 예를 찾고 있습니다. 이것은 거의 확실하지만 완벽하게 수렴하지 않는 일련의 무작위 변수입니다.

probability convergence

— 마누엘
소스

허락하다 $\Omega=(0,1)$ 보렐 시그마 대수 $\mathfrak{F}$ 균일 측정 $\mu$ . 밝히다

X_{n} (ω) = 2 + (- 1)^{n} when ω \leq 1 / n

$X_n(\omega) = 2 + (-1)^n \text{ when } \omega \le 1/n$

과 $X_n(\omega)=0$ 그렇지 않으면. 그만큼 $X_n$ 확률 공간에서 분명히 측정 가능 $(\Omega, \mathfrak{F}, \mu)$ .

어떠한 것도 $\omega\in\Omega$ 그리고 다 $N \gt 1/\omega$ 그것은 경우이다 $X_n(\omega)=0$ . 따라서 정의에 따라 시퀀스 $(X_n)$ 수렴하다 $0$ (거의 확실하지 않습니다!).

그러나 언제든지 $0 \lt \epsilon \lt 1$ , $\Pr(X_n\gt \epsilon) = \Pr(X_n \ne 0) = 1/n$ 언제

\sum_{n = 1}^{\infty} Pr (X_{n} > ϵ) = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n},

$\sum_{n=1}^\infty \Pr(X_n \gt \epsilon) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n},$

분기합니다 $\infty$ .

— 우버
소스

고마워!. 두 의견은 대신 를 정의 할 이유가 ? 둘째, 이어야 합니까?

X_{n} (ω) = 2 + (- 1)^{n} when ω \leq 1 / n

$X_n(\omega) = 2 + (-1)^n \text{ when } \omega \le 1/n$

X_{n} (ω) = 1 when ω \leq 1 / n

$X_n(\omega) = 1 \text{ when } \omega \le 1/n$

\sum Pr (X_{n} > ϵ)

$\sum\text{Pr}\left(X_n > \epsilon\right)$

— Manuel

1. 정당한 이유가 없습니다. 나는 이것을 통해 생각하면서 용어를 그러한 시점에서 수렴이 없을 수 있음을 상기시키는 데 사용했다 . 2. I는 고정 오타 덕분.

\pm 1

$\pm 1$

<

$\lt$

— whuber

있습니까 독립은? 그들은 제 2 보렐 칸 텔레 (Cortelelli)의 렘마에 의해 수렴이 거의 확실하지 않다는 것을 암시하는 것처럼 보입니다.

X_{n}

$X_n$

— Rdrr

@Rdrr 그러면 이 독립적이지 않다는 것을 보여주는 데 어려움 이 없을 것입니다.

X_{n}

$X_n$

— whuber