상관 랜덤 변수 생성 공식은 어떻게 작동합니까?

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2 개의 상관 관계가없는 임의의 변수 가 있으면 수식을 사용하여 2 개의 상관 관계가있는 임의 변수를 만들 수 있습니다 $X_1, X_2$

$Y=\rho X_1+ \sqrt{1-\rho^2} X_2$

다음 상관 것 와 . $Y$ $\rho$ $X_1$

누군가이 수식의 출처를 설명 할 수 있습니까?

correlation normal-distribution covariance

— 란자
소스

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이 문제와 관련 문제에 대한 광범위한 토론은 stats.stackexchange.com/a/71303의 답변에 나와 있습니다. 무엇보다도, 그것은 (1) 정규성의 가정이 무관 (2) 추가 가정을 할 필요가 일반한다 다음은의 편차를 및 의 상관 관계의 순서와 동일해야 와 될 .

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$

Y

$Y$

X_{1}

$X_1$

ρ

$\rho$

— whuber

매우 흥미로운 링크. 나는 정상 성이 무의미하다는 것이 무슨 의미인지 잘 모르겠습니다. 경우 또는 정상되지 않고, 밀도 제어하기 어려워진다 카이저 - Dickman 알고리즘을 통하여. 이는 특수 알고리즘이 비정상 상관 데이터를 생성하는 전체 이유입니다 (예 : Headrick, 2002; Ruscio & Kaczetow, 2008; Vale & Maurelli, 1983) 예를 들어 목표가 ~ normal, ~ uniform 을 생성한다고 가정하십시오. = .5 와 함께 . ~ uniform을 사용하면 가 균일하지 않습니다 ( 는 보통 일반과 균일의 선형 조합 임).

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$

Y

$Y$

X

$X$

Y

$Y$

ρ

$\rho$

X_{2}

$X_2$

Y

$Y$

Y

$Y$

— Anthony

@Anthony이 질문은 상관 관계에 대해서만 묻습니다 . 이것은 순전히 첫 번째와 두 번째 순간의 함수입니다. 대답은 분포의 다른 속성에 의존하지 않습니다. 당신이 논의하고있는 것은 완전히 다른 주제입니다.

— whuber

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당신이 선형의 조합을 찾으려는 가정 및 그러한를 $X_1$ $X_2$

코르 (α {엑스}_{1} + β {엑스}_{2}, {엑스}_{1}) = ρ

$\text{corr}(\alpha X_1 + \beta X_2, X_1) = \rho$

와 에 동일한 (0이 아닌) 상수 를 곱 하면 상관 관계가 변경되지 않습니다. 따라서 분산을 유지하기위한 조건을 추가하겠습니다. $\alpha$ $\beta$ $\text{var}(\alpha X_1 + \beta X_2) = \text{var}(X_1)$

이것은

ρ = \frac{코브 (α {엑스}_{1} + β {엑스}_{2}, {엑스}_{1})}{\sqrt{var (α {엑스}_{1} + β {엑스}_{2}) var ({엑스}_{1})}} = \frac{α \overset{= var ({엑스}_{1})}{\overset{⏞}{코브 ({엑스}_{1}, {엑스}_{1})}} + \overset{= 0}{\overset{⏞}{β 코브 ({엑스}_{2}, {엑스}_{1})}}}{\sqrt{var (α {엑스}_{1} + β {엑스}_{2}) var ({엑스}_{1})}} = α \sqrt{\frac{var ({엑스}_{1})}{α^{2} var ({엑스}_{1}) + β^{2} var ({엑스}_{2})}}

$\rho = \frac{\text{cov}(\alpha X_1 + \beta X_2, X_1)}{\sqrt{\text{var}(\alpha X_1 + \beta X_2) \text{var}(X_1)}} = \frac{\alpha \overbrace{\text{cov}(X_1, X_1)}^{=\text{var}(X_1)} + \overbrace{\beta \text{cov}(X_2, X_1)}^{=0}}{\sqrt{\text{var}(\alpha X_1 + \beta X_2) \text{var}(X_1)}} = \alpha \sqrt{\frac{\text{var}(X_1)}{\alpha^2 \text{var}(X_1) + \beta^2 \text{var}(X_2)}}$

두 랜덤 변수가 동일한 분산을 가지고 있다고 가정하면 (이것은 중요한 가정입니다!) ( ) $\text{var}(X_1) = \text{var}(X_2)$

ρ \sqrt{α^{2} + β^{2}} = α

$\rho \sqrt{\alpha^2 + \beta^2} = \alpha$

이 방정식에는 여러 가지 솔루션이 있으므로 분산 보존 조건을 다시 호출해야합니다.

var ({엑스}_{1}) = var (α {엑스}_{1} + β {엑스}_{2}) = α^{2} var ({엑스}_{1}) + β^{2} var ({엑스}_{2}) \Rightarrow α^{2} + β^{2} = 1

$\text{var}(X_1) = \text{var}(\alpha X_1 + \beta X_2) = \alpha^2 \text{var}(X_1) + \beta^2 \text{var}(X_2) \Rightarrow \alpha^2 + \beta^2 = 1$

그리고 이것은 우리를

α = ρ β = \pm \sqrt{1 - ρ^{2}}

$\alpha = \rho \\ \beta = \pm \sqrt{1-\rho^2}$

UPD . 두 번째 질문과 관련하여 그렇습니다 . 미백 으로 알려져 있습니다 .

— 아르 템 소볼 레프
소스

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방정식은 Cholesky 분해 의 단순화 된 이변 량 형태입니다 . 이 단순화 된 방정식을 때때로 Kaiser-Dickman 알고리즘이라고합니다 (Kaiser & Dickman, 1962).

참고 및 제대로 작동하려면이 알고리즘에 대해 동일한 분산을해야합니다. 또한 알고리즘은 일반적으로 일반 변수와 함께 사용됩니다. 경우 또는 정상 아닌, 같은 분포 형태가 없을 수도 . $X_1$ $X_2$ $X_1$ $X_2$ $Y$ $X_2$

참고 문헌 :

Kaiser, HF, & Dickman, K. (1962). 임의 모집단 상관 행렬의 표본 및 모집단 점수 행렬 및 표본 상관 행렬 Psychometrika, 27 (2), 179-182.

— 앤서니
소스

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표준화 된 정규 변수가 필요하지 않고 동일한 분산을 갖는 것으로 충분하다고 가정합니다.

— Artem Sobolev

2

아니,의 분포

것입니다 하지 혼합 당신이 주장하는 것처럼 유통.

Y

$Y$

— Dilip Sarwate

@Dilip Sarwate. 어느 경우

또는

비정규 인 후

원하는 분배 될 수없는 두 변수의 선형 조합이된다. 이는 비정상 상관 데이터 생성을위한 특수 알고리즘 (Kaiser-Dickman 대신)의 이유입니다.

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$

Y

$Y$

— Anthony

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상관 계수는 두 시리즈가 벡터로 취급되는 경우 ( 데이터 포인트가 벡터의 차원 임) 두 계열 간의 입니다. 위의 공식은 단순히 벡터를 , 성분 ( 대하여)으로 분해 합니다. 만약 다음 $\cos$ $n^{th}$ $n^{th}$ $\cos\theta$ $sin\theta$ $X_1,X_2$
$\rho = cos \theta$ . $\sqrt{1-{\rho}^2}=\pm sin \theta$

왜냐하면 만약 비 상관, 그들 사이의 각도 (비정규이라도 즉, 이들이 직각으로 간주 될 수있는 베이시스 벡터)에 직각이다. $X_1, X_2$

— 드미트리 루 바노비치
소스

2

우리 사이트에 오신 것을 환영합니다!

사용하여 수학 표현식을 마크 업하면 게시물에 더 많은 관심을 기울일 것이라고 생각합니다

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T E X

$\TeX$

— whuber