닫힌 형태로 를 어떻게 계산할 수 있습니까?

닫힌 형태의 제곱 정규 CDF의 기대치를 어떻게 평가할 수 있습니까?

E [Φ {(a Z + b)}^{2}] = \int_{- \infty}^{\infty} Φ {(a z + b)}^{2} ϕ (z) d z

$\mathbb{E}\left[\Phi\left(aZ+b\right)^{2}\right] = \int_{-\infty}^{\infty}\Phi\left(az+b\right)^{2}\phi(z)\,dz$

여기서 , 는 실수이고 이고 및 는 표준 정규 확률 변수의 밀도 및 분포 함수입니다. 각기. $a$ $b$ $Z\sim\mathcal{N}(0,1)$ $\phi(\cdot)$ $\Phi(\cdot)$

mathematical-statistics

— 안드레이
소스

어디에서 갇혀 있습니까? 그것을 평가하려고 했습니까? 아마 사실을 사용하는

Var (g (X)) = E [g (X)^{2}] - (E [g (X)])^{2}

$\text{Var}(g(X))=E[g(X)^2]-(E[g(X)])^2$

— stoched

부품 및 기타 (간단한) 기술에 의한 통합을 사용하여 적분을 평가하려고 시도했지만 그 어느 곳에서도 나에게 도움이되지 않았습니다. 또한, 나는 실제로 분산을 시작하여 여기에 왔습니다. 비슷한 질문 ( stats.stackexchange.com/questions/61080/… )을 찾았 지만, 제곱 된 CDF로 확장하는 것은 사소한 것처럼 보이지 않습니다.

— Andrei

극좌표 사용을 고려 했습니까?

— Stats 학생

아뇨, 조금 자세하게 설명해 주시겠습니까?

— Andrei

경우 및 다음 그 후 두번째 모멘트는 0과 1 사이에서 균일하게 분포되어 . 나는 당신이 일반 와 대해 요구하는 것과 같은 것을 계산하려고 시도한 것을 기억 하지만 닫힌 양식 솔루션을 찾지 못했습니다.

b = 0

$b=0$

a = 1

$a=1$

Φ (Z)

$\Phi(Z)$

1 / 3

$1/3$

a

$a$

b

$b$

— StijnDeVuyst

위의 의견에서 언급했듯이 Wikipedia에서 가우시안 함수의 적분 목록을 확인하십시오. 표기법을 사용하면 여기서 는 의해 정의 된 Owen의 T 함수입니다.

\int_{- \infty}^{\infty} Φ (a z + b)^{2} ϕ (z) d z = Φ (\frac{b}{\sqrt{1 + a^{2}}}) - 2 T (\frac{b}{\sqrt{1 + a^{2}}}, \frac{1}{\sqrt{1 + 2 a^{2}}}),

$\int_{-\infty}^{\infty} \Phi (az+b)^2 \phi(z) dz=\Phi \left( {{b} \over {\sqrt{1+a^2}} }\right) - 2T \left( {{b} \over {\sqrt{1+a^2}}} \ , {{1} \over {\sqrt{1+2a^2}}} \right) ,$

T (h, q)

$T(h,q)$

T (h, q) = ϕ (h) \int_{0}^{q} \frac{ϕ (h x)}{1 + x^{2}} d x

$T(h,q)=\phi(h) \int_0^q {{\phi(hx) } \over {1+x^2}} dx$

당신이에 연결하면 당신은 얻을 것이다 코멘트 당신이해야 표시한다. $a=1,b=0$ $1 \over 3$

— 소 클리
소스

정말 고마워요, 이것이 제가 찾던 것입니다.

— Andrei