변형 된 변수의 밀도에 대한 직관적 인 설명?

가 pdf 의 랜덤 변수 라고 가정 합니다. 그런 다음 임의 변수 는 pdf를 갖습니다. $X$ $f_X(x)$ $Y=X^2$

f_{Y} (y) = {\begin{cases} \frac{1}{2 \sqrt{y}} (f_{X} (\sqrt{y}) + f_{X} (- \sqrt{y})) & y \geq 0 \\ 0 & y < 0 \end{cases}

$f_Y(y)=\begin{cases}\frac{1}{2\sqrt{y}}\left(f_X(\sqrt{y})+f_X(-\sqrt{y})\right) & y \ge 0 \\ 0 & y \lt 0\end{cases}$

나는 이것 뒤에 미적분학을 이해합니다. 그러나 나는 미적분학을 모르는 사람에게 그것을 설명하는 방법을 생각하려고합니다. 특히, 나는 요소가 왜 먼저 나타나는지 설명하려고합니다 . 나는 그것을 찌를 것이다 : $\frac{1}{\sqrt{y}}$

에 가우스 분포가 있다고 가정합니다 . PDF의 거의 모든 가중치는 과 사이의 값 사이에 있습니다. 그러나 0에서 9까지 매핑됩니다 . 따라서 에 대한 pdf의 중량 이 로의 변환에서 더 넓은 범위의 값으로 확장되었습니다 . 따라서 가 실제 pdf가 되려면 곱셈 계수 의해 추가 중량이 가중되어야합니다. $X$ $-3$ $3.$ $Y$ $X$ $Y$ $f_Y(y)$ $\frac{1}{\sqrt{y}}$

그 소리는 어때?

누구든지 자신에 대한 더 나은 설명을 제공하거나 문서 또는 교과서에있는 링크를 제공 할 수 있다면 대단히 감사하겠습니다. 이 변수 변환 예제는 몇 가지 소개 수학 확률 / 통계 서적에서 찾을 수 있습니다. 그러나 나는 그것에 대한 직관적 인 설명을 찾지 못했습니다 :(

random-variable pdf intuition

— 저지방
소스

귀하의 설명이 정확하다고 생각합니다.

— highBandWidth

설명은 옳습니다. 그러나 그것은 정 성적입니다. 곱셈 요소의 정확한 형태는 여전히 미스터리입니다. -1/2의 힘은 단순히 마법처럼 보입니다. 따라서 어떤 수준에서는 미적분 함수와 동일한 작업을 수행해야합니다. 제곱근 함수의 변화율을 찾으십시오.

— whuber

답변:

PDF는 높이이지만 면적을 기준으로 확률을 나타내는 데 사용됩니다. 따라서 면적이 높이와 기본 거리임을 상기시키는 방식으로 PDF를 표현하는 데 도움이됩니다.

초기에 임의의 값 에서의 높이는 PDF 됩니다. 밑은 무한대 세그먼트 이며, 분포 (즉, 분포 함수 와 반대되는 확률 측정 )가 실제로 미분 형태 또는 "확률 요소"인 경우 $x$ $f_X(x)$ $dx$

{PE}_{X} (x) = f_{X} (x) d x .

$\operatorname{PE}_X(x) = f_X(x) \, dx.$

이것은 PDF가 아니라 확률 적으로 표현하는 데 필요한 모든 요소를 명시 적으로 포함하기 때문에 개념적으로나 실제적으로 작업하려는 객체 입니다.

를 다시 표현 하면 기본 세그먼트 가 늘어나거나 눌려집니다. 에서 까지 간격의 양쪽 끝을 제곱 하여 영역 의 기본 이 길이의 간격 $x$ $y = x^2$ $dx$ $x$ $x + dx$ $y$

d y = (x + d x)^{2} - x^{2} = 2 x d x + (d x)^{2} .

$dy = (x + dx)^2 - x^2 = 2 x \, dx + (dx)^2.$

두 개의 무한대의 곱은 무한한 그 자체와 비교하여 무시할 수 있기 때문에 결론

d y = 2 x d x, whence d x = \frac{d y}{2 x} = \frac{d y}{2 \sqrt{y}} .

$dy = 2 x \, dx, \text{ whence }dx = \frac{dy}{2x} = \frac{dy}{2\sqrt{y}}.$

이것을 설정하면 새로운 높이와 새로운 너비를 꽂기 때문에 계산이 간단합니다.

{PE}_{X} (x) = f_{X} (x) d x = f_{X} (\sqrt{y}) \frac{d y}{2 \sqrt{y}} = {PE}_{Y} (y) .

$\operatorname{PE}_X(x) = f_X(x) \, dx = f_X(\sqrt{y}) \frac{dy}{2\sqrt{y}} = \operatorname{PE}_Y(y).$

와 관련하여 밑 이 이므로 곱하면 무엇이든지 높이가되어야합니다. 중간 용어를 다음과 같이 직접 읽을 수 있습니다 $y$ $dy$

\frac{1}{2 \sqrt{y}} f_{X} (\sqrt{y}) = f_{Y} (y) .

$\frac{1}{2\sqrt{y}}f_X(\sqrt{y}) = f_Y(y).$

이 방정식 는 사실상 면적 (= 확률) 법칙 의 보존입니다. $\operatorname{PE}_X(x) = \operatorname{PE}_Y(y)$

두 개의 PDF

이 그래픽은 와 관련된 두 개의 PDF의 좁은 (거의 무한한) 조각을 정확하게 보여줍니다 . 확률은 음영 영역으로 표시됩니다. 제곱을 통한 간격 의 압착으로 인해 빨간색 영역의 높이 ( 왼쪽의 )가 파란색 영역의 영역 ( 오른쪽의 )에 맞게 비례 적으로 확장되어야합니다 . $y=x^2$ $[0.32, 0.45]$ $y$ $x$

— 우버
소스

나는 무한한 것을 좋아합니다. 이것은 훌륭한 설명입니다. 의 관점에서 생각 명확하게 변환의 미분에서 나오는 것을 볼 수있다,의 관점에서 생각보다 훨씬 더 직관적 . 나는 그것이 내 고집 포인트가었던 곳이라고 생각합니다.

2 x

$2x$

\sqrt{y}

$\sqrt{y}$

— lowndrul

@ whuber, 첫 줄은 여야한다고 생각합니다 . 이것이 입니까? 추신 : 또한 내 대답에 대한 당신의 생각이 궁금합니다 (아래).

P (X \in (x, x + d x)) = f_{x} (x) d x

$P(X \in (x, x + dx)) = f_{x}(x)dx$

{pdf}_{X} (x)

$\text{pdf}_{X}(x)$

— 카를로스시 넬리

@Carlos 처음부터 내가 한 방식으로 아이디어를 표현하는 것이 좀 더 엄격합니다. PDF는 주어진 확률 측정 값을 얻기 위해 Lebesgue 측정 값 를 곱한 것입니다.

d x

$\mathrm{d}x$

— whuber

@ whuber이지만 pdf가 곱하면 라는 용어입니다. 쓴 아닙니다 . 왜 제품 를 pdf 라고 부르는지 확실하지 않습니다 .

f_{X} (x)

$f_{X}(x)$

f_{x} (x) d x

$f_{x}(x)dx$

f_{X} (x) d x

$f_{X}(x)dx$

— 카를로스시 넬리

@Carlos : 감사합니다. 지금 당신의 요점을 참조하십시오. 나는 그것을 해결하기 위해 약간의 편집을했다.

— whuber

항상 정사각형 인 물체를 제조 하고 정사각형의 측면 길이 분포를 알고 있다면 어떨까요? 사각형의 면적 분포에 대해 무엇을 말할 수 있습니까?

특히, 임의 변수 의 분포를 알고 있다면 대해 무엇을 말할 수 있습니까? 당신이 말할 수있는 한 가지는 $X$ $Y = X^{2}$

\begin{aligned} F_{Y} (c) & = & P (Y \leq c) \\ = & P (X^{2} \leq c) \\ = & P (- \sqrt{c} \leq X \leq \sqrt{c}) \\ = & F_{X} (\sqrt{c}) - F_{X} (- \sqrt{c}) . \end{aligned}

$\eqalign{ F_{Y} (c) & = & P( Y \le c ) \\ & = & P( X^{2} \le c ) \\ & = & P ( - \sqrt{c} \le X \le \sqrt{c}) \\ & = & F_{X}( \sqrt{c} ) - F_{X}( - \sqrt{c} ). \\ }$

따라서 CDF와 의 CDF 사이에 관계가 설정됩니다 . 그들의 PDF 사이의 관계는 무엇입니까? 이를 위해서는 미적분학이 필요합니다. 양쪽의 도함수를 취하면 원하는 결과를 얻을 수 있습니다. $Y$ $X$

— 스키 넥 터디
소스

(+1) 이것이 정답은 아니지만 를 찾는 좋은 방법을 제시하고 왜 각 제곱근에 대해 두 조각의 합인지를 명확하게 보여줍니다.

f_{Y}

$f_Y$

— whuber

왜 pdf (x) = f (x) dx인지 모르겠습니다. pdf (x) dx = f (x)는 density = prob mass/interval어떻습니까? ... 무엇이 잘못됩니까?

— Fernando

인구가 있고 가 해당 인구의 요약이라고 상상해보십시오 . 그런 다음 는 범위에서 가변 를 가진 개인의 비율을 계산합니다 . 이것을 크기 의 "빈"으로 간주 할 수 있으며 해당 빈 안에 몇 명의 개인이 있는지 계산합니다. $Y$ $P(Y \in (y, y + \Delta y))$ $Y$ $(y, y + \Delta y)$ $\Delta y$

이제 다른 변수 관점에서 개인을 다시 표현해 봅시다 . 와 가 와 관련이 있다는 것을 알고 있다면 , 이벤트 은 이벤트 이벤트 . 따라서 저장소 에있는 개인도 저장소 및 있어야합니다. . 다시 말해, 그 쓰레기통은 같은 비율의 개인이어야합니다. $X$ $Y$ $X$ $Y = X^2$ $Y\in (y, y + \Delta y)$ $X^2 \in (x^2, (x + \Delta x)^2)$ $X \in (|x|, |x| + \Delta x)~ \text{or}~ X \in (- |x| -\Delta x, -|x| )$ $(y, y + \Delta y)$ $(|x|, |x| + \Delta x)$ $(- |x| -\Delta x, -|x| )$

\begin{aligned} P (Y \in (y, y + Δ y)) & = P (X \in (| x |, | x | + Δ x)) + P (X \in (- | x | - Δ x, - | x |)) \end{aligned}

$\begin{align} P(Y \in (y, y + \Delta y)) &=P\left( X \in (|x|, |x| + \Delta x) \right) + P\left( X \in (- |x| -\Delta x, -|x| )\right) \end{align}$

자 이제 밀도에 도달합시다. 먼저 확률 밀도 가 무엇인지 정의해야합니다 . 이름에서 알 수 있듯이 지역 당 개인의 비율입니다 . 즉, 우리 는 그 쓰레기통에있는 개인의 비율을 세어 쓰레기통 의 크기로 나눕니다 . 여기서 사람들의 비율은 동일하지만 쓰레기통의 크기가 바뀌 었으므로 밀도가 다를 것이라고 결론을 내 렸습니다. 그러나 얼마나 다른가?

우리는 상기 된 바와 같이, 확률 밀도 따라서 밀도 빈의 크기에 의해 나누어 진 빈 사람의 비율이고 주어진다 . 유사하게, 의 확률 밀도는 로 주어집니다 . $Y$ $f_Y(y):=\frac{P(Y \in (y, y + \Delta y))}{\Delta y}$ $X$ $f_X(x):=\frac{P(X \in (x, x + \Delta x))}{\Delta x}$

이전 결과에서 각 빈의 인구가 동일하다는 것을 알았습니다.

\begin{aligned} f_{Y} (y) := \frac{P (Y \in (y, y + Δ y))}{Δ y} & = \frac{P (X \in (| x |, | x | + Δ x)) + P (X \in (- | x | - Δ x, - | x |))}{Δ y} \\ = \frac{f_{X} (| x |) Δ x + f_{X} (- | x |) Δ x}{Δ y} \\ = \frac{Δ x}{Δ y} (f_{X} (| x |) + f_{X} (- | x |)) \\ = \frac{Δ x}{Δ y} (f_{X} (\sqrt{y}) + f_{X} (- \sqrt{y})) \end{aligned}

$\begin{align} f_Y(y):=\frac{P(Y \in (y, y + \Delta y))}{\Delta y} &= \frac{P\left( X \in (|x|, |x| + \Delta x) \right) + P\left( X \in (- |x| - \Delta x, -|x| )\right)}{\Delta y} \\ &= \frac{f_X(|x|)\Delta x + f_{X}(-|x|)\Delta x}{\Delta y}\\ &= \frac{\Delta x}{\Delta y} \left(f_X(|x|) + f_{X}(-|x|) \right)\\ &= \frac{\Delta x}{\Delta y} \left(f_X(\sqrt{y}) + f_{X}(-\sqrt{y}) \right) \end{align}$

즉, 밀도 인자에 의해 변경 연신의 상대적 크기, 또는 빈 크기를 짜는 것. 이 경우 이므로 입니다. 경우 우리가 무시해 작은 충분히 내포 및 이므로 가 변환에 나타납니다. $f_X(\sqrt{y}) + f_{X}(-\sqrt{y})$ $\frac{\Delta x}{\Delta y}$ $y = x^2$ $y + \Delta y = (x + \Delta x )^2 = x^2 + 2x \Delta x + \Delta x^2$ $\Delta x$ $\Delta x ^2$ $\Delta y = 2x \Delta x$ $\frac{\Delta x}{\Delta y} = \frac{1}{2x} = \frac{1}{2 \sqrt{y}}$ $\frac{1}{2 \sqrt{y}}$

— 카를로스시 넬리
소스