총 될 때까지 6 면체 주사위를 굴 립니다. 을 초과 하는 평균 금액 은?

질문은 다음과 같습니다.

주사위 롤의 합이 M보다 크거나 같을 때까지 공정한 6면 주사위를 반복해서 굴립니다. M = 300 일 때 합계에서 M을 뺀 평균의 평균 및 표준 편차는 얼마입니까?

이런 종류의 질문에 대답하는 코드를 작성해야합니까?

그것에 대한 힌트를주세요. 감사!

확실히 코드를 사용할 수는 있지만 시뮬레이션하지는 않습니다.

나는 "빼기 M"부분을 무시할 것입니다 (끝 부분에서 쉽게 할 수 있습니다).

확률을 재귀 적으로 매우 쉽게 계산할 수 있지만 간단한 추론을 통해 실제 답변 (정확도에 대한 정확도)을 계산할 수 있습니다.

롤을 . 하자 .S t = ∑ t i = 1 X $X_1, X_2, ...$$S_t=\sum_{i=1}^t X_i$

하자 가장 작은 인덱스 될 .S τ ≥ $\tau$$S_\tau\geq M$

$P(S_\tau=M)=P(\text{got to }M-6\text{ at }\tau-1\text{ and rolled a }6) \\\qquad\qquad\qquad+ P(\text{got to }M-5\text{ at }\tau-1\text{ and rolled a }5)\\\qquad\qquad\qquad +\:\: \vdots\\\qquad\qquad\qquad+\:P(\text{got to }M-1\text{ at }\tau-1\text{ and rolled a }1)\\ \qquad\qquad\quad=\frac{1}{6}\sum_{j=1}^6 P(S_{\tau-1}=M-j)$

비슷하게

$P(S_\tau=M+1)=\frac{1}{6}\sum_{j=1}^5 P(S_{\tau-1}=M-j)$

$P(S_\tau=M+2)=\frac{1}{6}\sum_{j=1}^4 P(S_{\tau-1}=M-j)$

$P(S_\tau=M+3)=\frac{1}{6}\sum_{j=1}^3 P(S_{\tau-1}=M-j)$

$P(S_\tau=M+4)=\frac{1}{6}\sum_{j=1}^2 P(S_{\tau-1}=M-j)$

$P(S_\tau=M+5)=\frac{1}{6} P(S_{\tau-1}=M-1)$

위의 첫 번째와 유사한 방정식은 초기 조건과 원하는 확률 사이의 대수 관계를 얻기 위해 초기 조건 중 하나를 칠 때까지 (적어도 원칙적으로) 되돌릴 수 있습니다 (지루하고 깨달음은 아닙니다) 또는 해당 순방향 방정식을 구성하고 초기 조건에서 순방향으로 실행할 수 있습니다. 이는 수치 적으로 수행하기 쉽고 (내 대답을 확인한 방법입니다). 그러나 우리는 모든 것을 피할 수 있습니다.

포인트의 확률은 이전 확률의 가중 평균을 실행합니다. 이것들은 (초기 적으로 신속하게) 초기 분포로부터의 확률 변동을 완화시킵니다 (문제의 경우 점 0에서의 모든 확률). 그만큼

근사치 (매우 정확한 것)로, 우리는 에서 이 시간 (실제로 가깝습니다) 에서 거의 똑같이 가능해야한다고 말할 수 있습니다. 위에서 우리는 확률을 기록 할 수 있습니다 간단한 비율로 가까워 질 것이며, 정규화되어야하므로 확률을 적어 둘 수 있습니다.M − 1 τ − $M-6$$M-1$$\tau-1$

말을하는 것입니다 어느, 우리는 시작의 확률 경우 그 볼 수 있습니다 에 정확히 동일하고, 거기에 점점 6 개 똑같이 가능성 방법이다 을 얻는 5 등을 아래에 에 도착하는 1 가지 방법 .M − 1 M M + 1 M + $M-6$$M-1$$M$$M+1$$M+5$

즉, 확률은 6 : 5 : 4 : 3 : 2 : 1의 비율이며 1에 합산되므로 적어 두는 것이 쉽지 않습니다.

(나는 R에 그것을했다) 0에서 앞으로 확률 재귀를 실행하여 (오류 오프 누적 수치 라운드까지) 그것을 정확히 계산하는 것은 순서에 차이가 있습니다 .Machine$double.eps( , 말을하는 것입니다 위의 근사에서 내 컴퓨터에을 () 위의 행을 따라 간단한 추론은 정확한 답을 제공 합니다. 왜냐하면 정확한 답이 있어야 할 것으로 예상되는 것처럼 재귀에서 계산 된 답에 가깝기 때문입니다.$\approx$2.22e-16

여기 내 코드가 있습니다 (대부분 변수를 초기화하는 중입니다. 작업은 모두 한 줄에 있습니다). 코드는 첫 번째 롤 이후에 시작됩니다 (셀에서 0을 넣는 것을 막기 위해 R에서 처리 해야하는 작은 성가심). 각 단계에서 차지할 수있는 가장 낮은 셀을 차지하고 다이 롤에 의해 앞으로 이동합니다 (다음 6 개 셀에 해당 셀의 확률을 확산).

 p = array(data = 0, dim = 305)
 d6 = rep(1/6,6)
 i6 = 1:6
 p[i6] = d6
 for (i in 1:299) p[i+i6] = p[i+i6] + p[i]*d6

(우리는 rollapply(에서 zoo)를 사용 하여이 작업을보다 효율적으로 수행하거나 다른 여러 기능을 수행 할 수는 있지만 명시 적으로 유지하면 번역하기가 더 쉬울 것입니다)

주 d6마지막 라인의 루프 내부 코드는 이전 값들의 가중 된 평균을 실행하는 구성되도록 1 이상 6의 이산 확률 함수이다. 이 관계는 확률을 매끄럽게합니다 (최근에 관심있는 몇 가지 값까지).

여기에 첫 번째 50 홀수 값 (원으로 표시된 첫 25 개 값)이 있습니다. 각 에서 y 축의 값은 다음 6 개의 셀로 롤 포워드하기 전에 최후 방 셀에 축적 된 확률을 나타냅니다.$t$

보시다시피 ( , 각 다이 롤이 걸리는 단계의 평균의 역수)는 매우 빠르게 매끄럽게 유지되고 일정하게 유지됩니다.$1/\mu$

그리고 우리가 에 도달하면 , 그 확률은 사라집니다 (우리는 이상의 값에 대한 확률을 차례로 제시 하지 않기 때문에 )$M$$M$

따라서 초기 조건의 변동이 완화되기 때문에 에서 까지 의 값 이 동일해야한다는 생각은 분명합니다.M - $M-1$$M-6$

추론은 아무것도에 의존하지 않고 이 초기 조건이 씻겨 질 정도로 충분히 커서 에서 이 시간에 거의 똑같이 가능 하므로 분포는 본질적으로 동일합니다. Henry가 의견에서 제안한 것처럼 큰M - 1 M - 6 τ - 1 $M$$M-1$$M-6$$\tau-1$$M$

돌이켜 보면, 뺄셈 M을 다루는 Henry의 힌트 (또한 당신의 질문에 있습니다)는 약간의 노력을 아끼지 만 인수는 매우 비슷한 줄을 따릅니다. 당신은 수 있도록함으로써 진행할 수 과 관련된 유사한 방정식 작성 등등 위의 값을합니다.R $R_t=S_t-M$$R_0$

확률 분포에서 확률의 평균과 분산은 간단합니다.

편집 : 최종 위치의 점근 평균과 표준 편차에 뺀 것을 가정합니다 .$M$

점근 평균 초과는 이고 표준 편차는 입니다. 에서 당신이 걱정하는 가능성이있어보다이 훨씬 더 큰 정도에 정확합니다. 2$\frac{5}{3}$ M=$\frac{2\sqrt 5}{3}$$M=300$

하자 (각 시퀀스에서 시작으로 주사위 롤 부분합 시퀀스들의 집합 ). 임의의 정수 , 을 이 시퀀스에 나타나는 이벤트라고 하자 . 그건,0 n E n$\Omega$$0$$n$$E_n$$n$

$$E_n = \{\omega\in\Omega\,|\, n \in \omega\}.$$

를 에서 과 같거나 초과 하는 첫 번째 값으로 정의하십시오 . 질문은 속성을 묻습니다 . 의 정확한 분포를 얻을 수 있으며 모든 것이 뒤 따릅니다.ω M X M - $X_M(\omega)$$\omega$$M$$X_M-M$$X_M$

먼저 입니다. 이벤트 분할함으로써 있는 직전의 값에 따라 및시키는 얼굴 관측 확률 수 상기 다이의 하나의 롤 ( )에 따라$X_M(\omega) - M \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$$X_M - M = k$$\omega$$p(i) = 1/6$$i$$i=1, 2, 3, 4, 5, 6$

$$\Pr(X_M - M = k) = \sum_{j=k}^6 \Pr(E_{M+k-j}) p(j) = \frac{1}{6} \sum_{j=k}^6 \Pr(E_{M+k-j}).$$

이 시점에서 우리는 가장 작은 제외하고는 아주 좋은 근사치 인 이라고 heuristically 주장 할 수있었습니다롤의 예상 값이 이고 그 역수는 특정 값에 대한 제한적이고 안정적인 장기 빈도 여야하기 때문 입니다.$M$

$$\Pr(E_i) \approx 2/7.$$ $(1+2+3+4+5+6)/6 = 7/2$$\omega$

이를 입증하는 엄격한 방법은 가 발생할 수있는 방법을 고려합니다 . 어느 발생 이후의 롤이 있었다 ; 또는 가 발생하고 후속 롤은 . 또는 ... 또는 발생하고 후속 롤은 입니다. 이것은 가능성의 철저한 분할입니다.$E_i$$E_{i-1}$$1$$E_{i-2}$$2$$E_{i-6}$$6$

$$\Pr(E_i) = \sum_{j=1}^6 \Pr(E_{i-j}) p(j) = \frac{1}{6} \sum_{j=1}^6 \Pr(E_{i-j}).$$

이 순서의 초기 값은

$$\Pr(E_0) = 1;\quad \Pr(E_{-i}) = 0, i = 1, 2, 3, \ldots .$$

에 대한 이 플롯은 수평 점선으로 표시되는 확률이 상수 로 얼마나 빠르게 안정되는지 보여줍니다 .$\Pr(E_i)$$i$$2/7$

이러한 재귀 시퀀스에 대한 표준 이론이 있습니다. 함수, Markov 체인 또는 대수 조작을 생성하여 개발할 수 있습니다. 일반적인 결과는 대한 닫힌 형식의 수식 이 존재한다는 것입니다. $\Pr(E_i)$다항식의 근의 상수와 제곱의 선형 조합입니다.$i^\text{th}$

$$x^6 - p(1) x^5 - p(2) x^4 - p(3) x^3 \cdots - p(6) = x^6 - (x^5 + x^4+x^3+x^2+x+1)/6.$$

이 루트의 가장 큰 크기는 대략 입니다. 배정 밀도 부동 소수점 표현에서 는 기본적으로 0입니다. 그러므로, , 우리는 완전히 제외한 모든 정수를 무시할 수있다. 이 상수는 입니다.$\exp(-0.314368)$$\exp(-36.05)$$i \gg -36.05 / -0.314368 = 115$$2/7$

결과적으로 인 경우 모든 실제적인 목적으로 취할 수 있습니다 .$M = 300 \gg 115$$E_{M+k-j} = 2/7$

$$\Pr(X_M - M = (0,1,2,3,4,5)) = \left(\frac{2}{7}\right)\left(\frac{1}{6}\right)(6,5,4,3,2,1).$$

이 분포의 평균과 분산을 계산하는 것은 간단하고 쉽습니다.

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다음은 R이러한 결론을 확인하기 위한 시뮬레이션입니다. 통해 거의 100,000 개의 시퀀스를 생성 하고 의 값을 표로 만들고 테스트를 적용 하여 결과가 전술 한 내용과 일치하는지 여부를 평가합니다. 의 p- 값 (이 경우) 은 일관성을 나타내기에 충분히 큽니다.X 300 − 300 χ 2$M+5 = 305$$X_{300} - 300$$\chi^2$$0.1367$

M <- 300
n.iter <- 1e5
set.seed(17)
n <- ceiling((2/7) * (M + 3*sqrt(M)))
dice <- matrix(ceiling(6*runif(n*n.iter)), n, n.iter)
omega <- apply(dice, 2, cumsum)
omega <- omega[, apply(omega, 2, max) >= M+5]
omega[omega < M] <- NA
x <- apply(omega, 2, min, na.rm=TRUE)
count <- tabulate(x)[0:5+M]
(cbind(count, expected=round((2/7) * (6:1)/6 * length(x), 1)))
chisq.test(count, p=(2/7) * (6:1)/6)