분수 차이 수식 이해

나는 시계열이 하고 나는 ARFIMA (FARIMA 일명) 과정으로 모델링하고 싶습니다. 경우 (소수)의 순서로 통합 , I는 분별 차분 그것이 정지하게하고 싶다.$y_t$$y_t$$d$

질문 : 분수 미분을 정의하는 다음 공식이 맞습니까?

$\Delta^d y_t := y_t - d y_{t-1} + \frac{d(d-1)}{2!} y_{t-2} - \frac{d(d-1)(d-2)}{3!} y_{t-3} + ... +(-1)^{k+1} \frac{d(d-1) \cdot ... \cdot (d-k)}{k!} y_{t-k} + ...$

(여기서 $\Delta^d$ 는 차수 d 의 분수 차이를 나타냄 $d$)

ARFIMA , ARFIMA ( $0,d,0$ ) 장 에 대한이 Wikipedia 기사 의 공식을 사용 하지만 올바르게 입력했는지 확실하지 않습니다.

네 맞습니다. 분수 필터는 이항 확장으로 정의됩니다.

$\Delta^{d}=\left(1-L\right)^{d}=1-dL+\frac{d\left(d-1\right)}{2!}L^{2}-\frac{d\left(d-1\right)\left(d-2\right)}{3!}L^{3}+\cdots$

참고 지연 연산자이며,이 때 필터가 단순화 될 수 없음 . 이제 프로세스를 고려하십시오.$L$$0<d<1$

$\Delta^{d}X_{t}=\left(1-L\right)^{d}X_{t}=\varepsilon_{t}$

확장하면 다음과 같은 이점이 있습니다.

$\Delta^{d}X_{t}=\left(1-L\right)^{d}X_{t}=X_{t}-dLX_{t}+\frac{d\left(d-1\right)}{2!}L^{2}X_{t}-\frac{d\left(d-1\right)\left(d-2\right)}{3!}L^{3}X_{t}+\cdots=\varepsilon_{t}$

다음과 같이 쓸 수 있습니다 :

$X_{t}=dX_{t-1}-\frac{d\left(d-1\right)}{2!}X_{t-2}+\frac{d\left(d-1\right)\left(d-2\right)}{3!}X_{t-3}-\cdots+\varepsilon_{t}$

자세한 내용 은 Stephen J. Taylor의 자산 가격 역학, 변동성 및 예측 (2007 년 243 페이지) 또는 시계열 : Brockwell 및 Davis의 이론 및 방법 을 참조하십시오.