9

6면 다이는 반복적으로 굴립니다. 합을 K 이상으로 만드는 데 필요한 예상 롤 수는 얼마입니까?

편집하기 전에

P(Sum>=1 in exactly 1 roll)=1
P(Sum>=2 in exactly 1 roll)=5/6
P(Sum>=2 in exactly 2 rolls)=1/6
P(Sum>=3 in exactly 1 roll)=5/6
P(Sum>=3 in exactly 2 rolls)=2/6
P(Sum>=3 in exactly 3 rolls)=1/36
P(Sum>=4 in exactly 1 roll)=3/6
P(Sum>=4 in exactly 2 rolls)=3/6
P(Sum>=4 in exactly 3 rolls)=2/36
P(Sum>=4 in exactly 4 rolls)=1/216

편집 후

P(Sum>=1 in atleast 1 roll)=1
P(Sum>=2 in atleast 1 roll)=5/6
P(Sum>=2 in atleast 2 rolls)=1
P(Sum>=3 in atleast 1 roll)=4/6
P(Sum>=3 in atleast 2 rolls)=35/36
P(Sum>=3 in atleast 3 rolls)=1
P(Sum>=4 in atleast 1 roll)=3/6
P(Sum>=4 in atleast 2 rolls)=33/36
P(Sum>=4 in atleast 3 rolls)=212/216
P(Sum>=4 in atleast 4 rolls)=1

이것이 올바른지 확실하지 않지만이 확률이 예상 롤 수와 관련이 있다고 생각합니까?

그러나 더 진행하는 방법을 모르겠습니다. 올바른 방향으로 진행하고 있습니까?

— 일반적인 용의자
소스

당신은 어떻게 얻었나요

P (S \geq 2 in 2 rolls)

$P(S\geq 2 \text{ in 2 rolls})$ ?

— Glen_b-복지 주 모니카

@Glen_b 첫 번째 롤에서 1 인 2보다 작은 숫자를 가져와야합니다. 따라서 1을 얻을 확률은 1/6이고 두 번째 롤은 임의의 숫자 일 수 있습니다. 첫 번째 롤에서 2보다 크거나 같은 숫자를 얻으면 두 번째 롤로 가지 않습니다.

— 일반적인 용의자

1

아, 무슨 일인지 알 겠어 "P (S \ geq 2 in 2 rolls)"로 설명하지 않습니다. 이 표현은 롤 수가 고정되어 있음을 의미합니다. 당신이 원하는 것은 "P (정확히 구하려면 두 롤이 필요합니다.

S \geq 2

$S\geq 2$ ) "또는"P (적어도 2 롤 필요

S \geq 2

$S\geq 2$ ) ".

— Glen_b-복지국 모니카

@Glen_b 그래 그 혼란. P (S2를 얻는 데 정확히 2 롤이 필요합니다) 나는 추측합니다. 내가 궁극적으로 계산하고 싶은 것은 K보다 큰 합에 도달하는 예상 롤 수입니까?

— 일반적인 용의자

@Glen_b 적어도이 목적으로 사용해야합니까? 그리고 10000과 같은 더 큰 합계에 대한 예상 롤 수를 계산하는 방법은 무엇입니까?

— 일반적인 용의자

2

이것은 지금까지 나의 첫 번째 대답과 동일한 관찰을 바탕으로 다른 더 정확한 접근법에 대한 몇 가지 아이디어입니다. 시간이지나면서 나는 이것을 확장 할 것이다 ...

먼저, 약간의 표기법. 허락하다 $K$ 양수 (대) 정수를 지정할 수 있습니다. 우리는 분포를 원한다 $N$ , 이것은 최소한 총합을 얻기 위해 보통 주사위의 최소 던지기 횟수입니다 $K$ . 먼저 우리는 $X_i$ 주사위 던지기의 결과로 $i$ , $X^{(n)}=X_1+\dots+X_n$ . 우리가 분포를 찾을 수 있다면 $X^{(n)}$ 모든 $n$ 우리는 분포를 찾을 수 있습니다 $N$ 사용하여

P (N \geq n) = P (X_{1} + \dots + X_{n} \leq K),

$P(N \ge n)= P(X_1+\dots+X_n \le K),$ 그리고 우리는 끝났습니다.

이제 가능한 값 $X_1+\dots+X_n$ 아르 $n,n+1,n+2,\dots,6n$ , 그리고 $k$ 그 범위에서 확률을 찾기 위해 $P(X_1+\dots+X_n=k)$ 작성하는 총 방법 수를 찾아야합니다. $k$ 정확히 합으로 $n$ 모든 범위의 정수 $1,2,\dots,6$ . 그러나이를 제한 정수 구성이라고하며, 조합론에서 잘 연구 된 문제입니다. 수학 SE에 관한 몇 가지 관련 질문은 https://math.stackexchange.com/search?q=integer+compositions에 있습니다.

따라서 조합 문학을 검색하고 연구하면 조용하고 정확한 결과를 얻을 수 있습니다. 나는 그에 대해 후속 조치를 취할 것이지만 나중에 ...

— 크 제틸 비 할보 르센
소스

2

차수 -6 다항식의 근본 측면에서 간단한 닫힌 수식이 있습니다.

실제로 일반적인 공정 다이를 고려하는 것이 조금 더 쉽습니다. $d\ge 2$ 숫자로 표시된 얼굴 $1,2,\ldots, d.$

허락하다 $e_k$ 같거나 초과하는 데 필요한 예상 롤 수 $k.$ 에 대한 $k\le 0,$ $e_k=0.$ 그렇지 않으면 기대치가 롤의 수가 바로 앞의 값에 도달 할 것으로 예상하는 것보다 하나 이상입니다. $k-d, k-d+1, \ldots, k-1,$ 어떻게

\begin{matrix} (1) & e_{k} = 1 + \frac{1}{d} (e_{k - d} + e_{k - d + 1} + \dots + e_{k - 1}) . \end{matrix}

$e_k = 1 + \frac{1}{d}\left(e_{k-d} + e_{k-d+1} + \cdots + e_{k-1}\right).\tag{1}$

이 선형 재귀 관계 는 다음과 같은 형식의 솔루션을 갖습니다.

\begin{matrix} (2) & e_{k} = \frac{2 k}{d + 1} + \sum_{i = 1}^{d} a_{i} λ_{i}^{k} \end{matrix}

$e_k = \frac{2k}{d+1} + \sum_{i=1}^d a_i \lambda_i^k\tag{2}$

어디 $\lambda_i$ 입니다 $d$ 다항식의 복잡한 뿌리

\begin{matrix} (3) & T^{d} - \frac{1}{d} (T^{d - 1} + T^{d - 2} + \dots + T + 1) . \end{matrix}

$T^d - \frac{1}{d}(T^{d-1} + T^{d-2} + \cdots + T + 1).\tag{3}$

상수 $a_i$ 솔루션을 적용하여 찾을 수 있습니다 $(2)$ 가치에 $k=-(d-1), -(d-2), \ldots, -1, 0$ 어디 $e_k=0$ 모든 경우에. 이것은 일련의 $d$ 의 선형 방정식 $d$ 상수 및 고유 한 솔루션이 있습니다. 재발을 확인하여 솔루션이 작동하는지 확인할 수 있습니다. $(1)$ 모든 뿌리가 만족한다는 사실을 사용하여 $(3):$

\begin{aligned} 1 + \frac{1}{d} \sum_{j = 1}^{d} e_{k - j} & = 1 + \frac{1}{d} \sum_{j = 1}^{d} (\frac{2 (k - j)}{d + 1} + \sum_{i = 1}^{d} a_{i} λ_{i}^{k - j}) \\ = \frac{2 k}{d + 1} + \sum_{i = 1}^{d} a_{i} λ_{i}^{k - d} [\frac{1}{d} (1 + λ_{i} + \dots + λ_{i}^{d - 1})] \\ = \frac{2 k}{d + 1} + \sum_{i = 1}^{d} a_{i} λ_{i}^{k - d} λ_{i}^{d} \\ = \frac{2 k}{d + 1} + \sum_{i = 1}^{d} a_{i} λ_{i}^{k} = e_{k} . \end{aligned}

$\eqalign{ 1 + \frac{1}{d}\sum_{j=1}^{d} e_{k-j} &= 1 + \frac{1}{d}\sum_{j=1}^{d} \left(\frac{2(k-j)}{d+1} + \sum_{i=1}^d a_i \lambda_i^{k-j}\right) \\ &= \frac{2k}{d+1} + \sum_{i=1}^d a_i \lambda_i^{k-d}\left[\frac{1}{d}(1 + \lambda_i + \cdots + \lambda_i^{d-1})\right] \\ &= \frac{2k}{d+1} + \sum_{i=1}^d a_i \lambda_i^{k-d}\lambda_i^d \\ &= \frac{2k}{d+1} + \sum_{i=1}^d a_i \lambda_i^k = e_k. }$

이 폐쇄 형 솔루션은 답변을 대략적으로 평가하고 정확하게 평가할 수있는 좋은 방법을 제공합니다. (작고 적당한 값의 경우 $k,$ 재발을 직접 적용하는 것은 효과적인 계산 기술입니다.) 예를 들어 $d=6$ 우리는 쉽게 계산할 수 있습니다

e_{1 000 000} = 285714.761905 \dots

$e_{1\,000\,000} = 285714.761905\ldots$

근사치의 경우 가장 큰 고유 루트가 있습니다. $\lambda_{+}=1$ 결국 (충분히 큰 $k$ ) 용어 $\lambda_{+}^k$ 지배 할 것이다 $d$ 용어 $(2).$ 뿌리의 두 번째로 작은 규범에 따라 오류가 기하 급수적으로 감소 합니다 . 와 함께 예제를 계속 $k=6,$ 계수 $\lambda_{+}$ 이다 $a_{+}=0.4761905$ 그리고 가장 작은 표준은 $0.7302500.$ (우연히, 다른 $a_i$ 에 매우 가까운 경향이 $1$ 따라서 우리는 이전 값을 다음과 같이 근사 할 수 있습니다.

e_{1 000 000} \approx \frac{2 \times 10^{6}}{6 + 1} + 0.4761905 = 285714.761905 \dots

$e_{1\,000\,000} \approx \frac{2\times 10^6}{6+1} + 0.4761905 = 285714.761905\ldots$

순서대로 오류가 $0.7302500^{10^6} \approx 10^{-314\,368}.$

이 솔루션의 실용성을 보여주기 R위해 평가할 함수를 반환하는 코드 는 다음과 같습니다. $e_k$ 어떠한 것도 $k$ (배정 밀도 부동 소수점 계산 범위 내) 및 지나치게 크지 않음 $d$ (한 번 끊어 질 것이다 $d\gg 100$ ) :

die <- function(d, mult=1, cnst=1, start=rep(0,d)) {
  # Create the companion matrix (its eigenvalues are the lambdas).
  X <- matrix(c(0,1,rep(0,d-1)),d,d+1)
  X[, d] <- mult/d
  lambda <- eigen(X[, 1:d], symmetric=FALSE, only.values=TRUE)$values

  # Find the coefficients that agree with the starting values.
  u <- 2*cnst/(d+1)
  a <- solve(t(outer(lambda, 1:d, `^`)), start - u*((1-d):0))

  # This function assumes the starting values are all real numbers.
  f <- Vectorize(function(i) Re(sum(a * lambda ^ (i+d))) + u*i)

  list(f=f, lambda=lambda, a=a, multiplier=mult, offset=cnst)
}

사용 예로서 여기에 대한 기대치를 계산합니다. $k=1,2,\ldots, 16:$

round(die(6)$f(1:10), 3)

1.000 1.167 1.361 1.588 1.853 2.161 2.522 2.775 3.043 3.324 3.613 3.906 4.197 4.476 4.760 5.046

그것이 반환하는 객체는 뿌리를 포함합니다 $\lambda_i$ 그리고 그들의 승수 $a_i$ 추가 분석을 위해. 승수 배열의 첫 번째 성분은 유용한 계수입니다 $a_{+}.$

(다른 매개 변수가 무엇인지 궁금한 경우 die실행 die(2, 2, 0, c(1,0))$f(1:10)하고 출력을 인식하는지 확인하십시오 ;-). 이 일반화는 기능 개발 및 테스트에 도움이되었습니다.)

— 우버
소스

+1. 이 함수 die는 나에게 오류를 준다 : object 'phi' not found.

— COOLSerdash

1

@COOL 감사합니다. 텍스트와 일치 phi하도록 변수 이름의 마지막 순간 변경 (에서 ~까지 a)이 범인이었습니다. 나는 그것을 고쳤다.

— whuber

1

일반적으로 정확한 예상 롤 수를 얻을 수있는 방법은 없지만 K입니다.

sum => K를 얻기 위해 N이 예상되는 롤링 이벤트가되게하십시오.

K = 1 인 경우 E (N) = 1

K = 2 인 경우 $E(N)=(\frac{5}{6}+2*1)/(\frac{5}{6}+1)=\frac{17}{11}$

등등.

예를 들어 K = 20 인 경우 (4 롤, 20 롤)에서 예상해야합니다.

Central Limit Theorem은 일부 % 신뢰로 더 유리할 것입니다. 우리는 K의 큰 값에 대해 발생이 균일하게 분포되어 있음을 알고 있습니다.

K (S u m) f o l l o w s N (3.5 N, \frac{35 N}{12})

$K(Sum)~follows~N(3.5N,\frac{35N}{12})$ (정규 분포)

이제 최소한 K를 얻으려면 "N"이 필요합니다. 표준 정규 분포로 변환합니다.

\frac{K - 3.5 N}{\sqrt{\frac{35 N}{12}}} = Z_{α}

$\frac{K-3.5N}{\sqrt{\frac{35N}{12}}}=Z_\alpha$ 어디

α = 1 - c o n f i d e n c e

$\alpha=1-confidence$ % 당신은 "표준 정규 테이블"에서 Z 값을 가져 오거나 수 있습니다 여기에서 예를 들면,

Z_{0.01} = 2.31, Z_{0.001} = 2.98

$Z_{0.01}=2.31,Z_{0.001}=2.98$

K, Z (임의의 오류가 있음) .......을 알고 있다면 방정식을 풀면 어느 정도 신뢰도에서 N = E (N)을 얻을 수 있습니다.

— 헤만 루 파니
소스

2

이러한 확률을 어떻게 계산 했습니까? E (N) 방정식에 어떻게 도달 했습니까?

— 일반적인 용의자

@UsualSuspect P (Sum> = 2 in 1 roll) = 5 / 6 (알다시피) P (Sum> = 2 in 2 rolls) = 1 (2 롤링에서 최소 2를 구해야하기 때문에) 및 E (N ) ......... 그냥 예상 된 의미

— Hemant Rupani

미안하지만 언급하지 못했습니다. 적어도 2 롤입니다. 나는 지금 E (N) 방정식을 이해했습니다.

— 일반적인 용의자

@UsualSuspect 아! 그런데 특정 K에 대해 E (N)이 필요한 경우 만들 수 있습니다. :)

— Hemant Rupani

k = 20 및 k = 10000이 필요합니다. 당신이 똑바로 대답하는 것보다 나에게 설명하면 더 좋습니다.

— 일반적인 용의자

0

대략적인 해결책을 찾는 한 가지 방법을 알려 드리겠습니다. 먼저 $X_i$ 무작위 변수, "투구 결과 $i$ 주사위로 " $N$ 최소한 합계에 도달하는 데 필요한 던지기 수 $k$ . 그럼 우리는

P (N \geq n) = P (X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n} \leq k)

$P(N \ge n) = P(X_1+X_2+\dots+X_n \le k)$ 그래서 분포를 찾기 위해

N

$N$ 우리는 분포의 회선을 찾아야합니다.

X_{i}

$X_i$ ...에 대한

i = 1, 2, \dots, n

$i=1,2,\dots,n$ , 모든

n

$n$ . 이러한 회선은 수치 적으로 찾을 수 있지만

n

$n$ 그것은 많은 작업이 될 수 있으므로 대신 새들 포인트 방법을 사용하여 회선에 대한 누적 분포 함수를 근사하려고합니다. 새들 포인트 방법의 다른 예 는 감마 랜덤 변수의 총합에 대한 나의 답변을 참조하십시오

개별 사례에 대해 Lugannini-Rice 근사값을 사용하고 R 버틀러 : "애플리케이션이있는 안장 근사치", 18 페이지 (두 번째 연속성 수정)를 따릅니다. 먼저, 순간 생성 기능이 필요합니다. $X_i$ 입니다.

M (T) = E e^{t X_{i}} = \frac{1}{6} (e^{t} + e^{2 t} + e^{3 t} + e^{4 t} + e^{5 t} + e^{6 t})

$M(T) = E e^{tX_i}= \frac16 (e^t+e^{2t}+e^{3t}+e^{4t}+e^{5t}+e^{6t})$ 그런 다음의 합에 대한 누적 생성 함수

n

$n$ 독립 주사위가

K_{n} (t) = n \cdot l o g (\frac{1}{6} \sum_{i = 1}^{6} e^{i t})

$K_n(t)=n \cdot log(\frac16\sum_{i=1}^6 e^{it})$ 그리고 우리는 또한 처음 몇 가지 파생 상품이 필요합니다

K

$K$ 그러나 R을 사용하여 상징적으로 찾을 수 있습니다. 코드는 다음과 같습니다.

 DD <- function(expr, name, order = 1) {
        if(order < 1) stop("'order' must be >= 1")
        if(order == 1) D(expr, name)
        else DD(D(expr, name), name, order - 1)
     }

make_cumgenfun  <-  function() {
    fun0  <-  function(n, t) n*log(mean(exp((1:6)*t)))
    fun1  <-  function(n, t) {}
    fun2  <-  function(n, t) {}
    fun3  <-  function(n, t) {}
    d1  <-  DD(expression(n*log((1/6)*(exp(t)+exp(2*t)+exp(3*t)+exp(4*t)+exp(5*t)+exp(6*t)))),  "t", 1)
    d2  <-  DD(expression(n*log((1/6)*(exp(t)+exp(2*t)+exp(3*t)+exp(4*t)+exp(5*t)+exp(6*t)))),  "t", 2)
    d3  <-  DD(expression(n*log((1/6)*(exp(t)+exp(2*t)+exp(3*t)+exp(4*t)+exp(5*t)+exp(6*t)))),  "t", 3)
    body(fun1)  <-  d1
    body(fun2)  <-  d2
    body(fun3)  <-  d3
    return(list(fun0,  fun1,  fun2,  fun3))
}

다음으로 새들 포인트 방정식을 풀어야합니다.

이는 다음 코드에 의해 수행됩니다.

funlist  <-  make_cumgenfun()

# To solve the saddlepoint equation for n,  k:
solve_speq  <-   function(n, k)  {# note that n+1 <= k <= 6n is needed
    Kd  <-  function(t) funlist[[2]](n, t)
    k  <-  k-0.5
    uniroot(function(s) Kd(s)-k,  lower=-100,  upper=1,  extendInt="upX")$root
}

위의 코드는 매우 강력하지는 않습니다. $k$ 배포판의 어느 쪽 끝에서도 작동하지 않습니다. 그런 다음 버틀러 다음의 Luganini-Rice 근사법으로 꼬리 확률 함수를 실제로 계산하는 코드가 있습니다 (18 페이지) (두 번째 연속성 수정).

꼬리 확률을 반환하는 함수 :

#

Ghelp  <-  function(n, k) {
    stilde  <-  solve_speq(n, k)
    K  <-  function(t) funlist[[1]](n, t)
    Kd <-  function(t) funlist[[2]](n, t)
    Kdd <- function(t) funlist[[3]](n, t)
    Kddd <- function(t) funlist[[4]](n, t)
    w2tilde  <-  sign(stilde)*sqrt(2*(stilde*(k-0.5)-K(stilde)))  
    u2tilde  <-  2*sinh(stilde/2)*sqrt(Kdd(stilde))
    mu  <-  Kd(0)
    result  <- if (abs(mu-(k-0.5)) <= 0.001) 0.5-Kddd(0)/(6*sqrt(2*pi)*Kdd(0)^(3/2))  else
    1-pnorm(w2tilde)-dnorm(w2tilde)*(1/w2tilde - 1/u2tilde)
    return(result)
}
G  <- function(n, k) {
      fun  <- function(k) Ghelp(n, k)
      Vectorize(fun)(k)
  }

그런 다음이를 사용하여 공식을 기반으로 분포 표를 계산해 보겠습니다.

P (N \geq n) = P (X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n} \leq k) = 1 - P (X_{1} + \dots + X_{n} \geq k + 1) = 1 - G (n, k + 1)

$P(N \ge n) = P(X_1+X_2+\dots+X_n \le k) \\ = 1-P(X_1+\dots+X_n \ge k+1) \\ = 1-G(n,k+1)$ 어디

G

$G$ 위의 R 코드에서 함수입니다.

자, 원래 질문에 답하겠습니다. $K=20$ . 그런 다음 최소 롤 수는 4이고 최대 롤 수는 20입니다. 20 롤이 필요할 확률은 매우 작으며 이항 공식에서 정확하게 계산할 수 있으므로 독자에게 맡깁니다. (위의 근사값은 작동하지 않습니다. $n=20$ ).

따라서 확률은 $N \ge 19$ 근사치

> 1-G(20, 21)
[1] 2.220446e-16

그 확률 $N\ge 10$ 근사치 :

> 1-G(10, 21)
[1] 0.002880649

등등. 이 모든 것을 사용하면 기대에 대한 근사치를 직접 얻을 수 있습니다. 이것은 중앙 한계 정리를 기반으로 한 근사치보다 훨씬 낫습니다.

— 크 제틸 비 할보 르센
소스

주사위 롤의 예상 개수는 K보다 크거나 같은 합계를 요구합니까?

꼬리 확률을 반환하는 함수 :