가우스 RV의 합과 가우스 혼합물의 관계

가우시안이 가우시안이라는 것을 알고 있습니다. 가우시안 혼합은 어떻게 다른가요?

가우시안 혼합은 가우시안의 합일뿐입니다 (각 가우시안에 각 혼합 계수를 곱한 값)?

가우스 랜덤 변수 의 가중 합 는 가우스 랜덤 변수입니다 . if 다음 P Σ 난 = 1 β 내가 X I ( X 1 , ... , X의 P ) ~ N의 P ( μ , Σ ) β T ( X 1 , ... , X의 P ) ~ N 1 ( β T μ , β T Σ β $X_1,\ldots,X_p$

$$\sum_{i=1}^p \beta_i X_i$$ $$(X_1,\ldots,X_p)\sim\text{N}_p(\mu,\Sigma)$$ $$\beta^\text{T}(X_1,\ldots,X_p)\sim\text{N}_1(\beta^\text{T}\mu,\beta^\text{T}\Sigma\beta)$$

가우스의 혼합물 의 밀도는 가우스의 가중 합으로서 주어진 밀도 갖는다 밀도 : 어느 가우스 밀도와 거의 같지 않습니다. 예를 들어 아래의 청색 추정 혼합물 밀도를 참조하십시오 (노란색 밴드는 추정 혼합물의 변동성 측정 값임).

$$f(\cdot;\theta)=\sum_{i=1}^p \omega_i \varphi(\cdot;\mu_i,\sigma_i)$$

[출처 : 마린과 로버트 , 2007 년 베이지안 코어 ]

랜덤 변수 이 밀도, 로서 표현 될 수있는 여기서 및 는 와 함께 :X = p ∑ i = 1 I ( Z = i ) X i = X Z X i ∼ N p ( μ i , σ i ) Z P ( Z = i ) = ω i Z ∼ M ( 1 ; ω 1 , … , ω $X\sim f(\cdot;\theta)$

$$X=\sum_{i=1}^p \mathbb{I}(Z=i) X_i = X_{Z}$$ $X_i\sim\text{N}_p(\mu_i,\sigma_i)$$Z$$\mathbb{P}(Z=i)=\omega_i$ $$Z\sim\text{M}(1;\omega_1,\ldots,\omega_p)$$

그리고 @ Xi'an 답변을 보완하는 R 코드가 있습니다.

par(mfrow=c(2,1))
nsamples <- 100000

# Sum of two Gaussians
x1 <- rnorm(nsamples, mean=-10, sd=1)
x2 <- rnorm(nsamples, mean=10, sd=1)
hist(x1+x2, breaks=100)

# Mixture of two Gaussians
z <- runif(nsamples)<0.5 # assume mixture coefficients are (0.5,0.5)
x1_x2 <- rnorm(nsamples,mean=ifelse(z,-10,10),sd=1)
hist(x1_x2,breaks=100)

독립 랜덤 변수의 합의 분포는 분포의 컨벌루션 입니다. 앞서 언급했듯이 두 가우시안의 컨볼 루션은 가우시안입니다.

$X,Y$$Z$$X$$Y$$Z=X$$Z=Y$