한 모집단의 임의 구성원이 다른 모집단의 임의 구성원보다 "더 나은"확률을 어떻게 추정 할 수 있습니까?

두 개의 다른 모집단에서 표본 추출이 있다고 가정합니다. 각 구성원이 작업을 수행하는 데 걸리는 시간을 측정하면 각 모집단의 평균 및 분산을 쉽게 추정 할 수 있습니다.

이제 각 모집단의 한 개인과 임의의 쌍을 가정한다고 가정하면 첫 번째가 두 번째보다 빠를 확률을 추정 할 수 있습니까?

구체적인 예를 염두에두고 있습니다. 측정은 A에서 B로 순환하는 타이밍이며 인구는 내가 취할 수있는 다른 경로를 나타냅니다. 다음 사이클에 대한 경로 A를 선택하는 것이 경로 B를 선택하는 것보다 빠를 확률을 알아 내려고 노력하고 있습니다. 실제로주기를 수행하면 샘플 세트에 대한 다른 데이터 포인트가 있습니다. :).

나는 이것이 하루 종일 바람이 다른 시간보다 내 시간에 영향을 줄 가능성이 높기 때문에 이것을 해결하기 위해 끔찍하게 단순한 방법이라는 것을 알고 있습니다. 잘못된 질문 ...

해결책

두 평균이 및 μ y 이고 표준 편차가 각각 σ x 및 σ y가되도록하십시오 . 따라서 두 타기 ( Y - X ) 간의 타이밍 차이 는 평균 μ y − μ x 및 표준 편차 $\mu_x$$\mu_y$$\sigma_x$$\sigma_y$$Y-X$$\mu_y - \mu_x$ . 표준화 된 차이 ( "z score")는$\sqrt{\sigma_x^2 + \sigma_y^2}$

$$z = \frac{\mu_y - \mu_x}{\sqrt{\sigma_x^2 + \sigma_y^2}}.$$

승차 시간에 이상한 분포가없는 한, 승차 가 승차 X 보다 오래 걸리는 확률 은 대략 정규 누적 분포입니다.$Y$$X$ z 에서 평가 된 Φ 입니다.$\Phi$$z$

계산

이미 등의 추정치가 있으므로 승차 중 하나에서이 확률을 계산할 수 있습니다 . :-). 이러한 목적을 위해 그것은 몇 키 값을 기억하기 쉽게 Φ를 : Φ ( 0 ) = 0.5 = 1 / 2 , Φ ( - 1 ) ≈ 0.16 ≈ 1 / (6) , Φ ( - 2 ) ≈ 0.022 ≈ 1 / ≈ 1 . (근사값은 | z $\mu_x$$\Phi$$\Phi(0) = .5 = 1/2$$\Phi(-1) \approx 0.16 \approx 1/6$ , 및 Φ /$\Phi(-2) \approx 0.022 \approx 1/40$$\Phi(-3) \approx 0.0013 \approx 1/750$$|z|$ 훨씬 초과 하지만 알면 Φ (이 - 3 ) 보간에 있습니다.)와 결합 Φ ( Z ) = 1 - Φ $2$$\Phi(-3)$ 의 보간 및 비트하면 하나의 중요한 수치에 대한 확률을 신속하게 추정 할 수 있으며, 이는 문제의 성격과 데이터를 감안할 때 충분히 정확합니다.$\Phi(z) = 1 - \Phi(-z)$

예

경로 는 표준 편차가 6 분인 30 분, 경로 Y 는 표준 편차가 8 분인 36 분을 가정합니다 . 광범위한 조건을 포괄하는 충분한 데이터가 있으면 데이터 히스토그램은 결국 다음과 비슷할 수 있습니다.$X$$Y$

(이것은 감마 (25, 30/25) 및 감마 (20, 36/20) 변수에 대한 확률 밀도 함수입니다. 승차 시간이 예상되는대로 결정적으로 오른쪽으로 치우친 것을 관찰하십시오.)

그때

$$\mu_x = 30, \quad \mu_y = 36, \quad \sigma_x = 6, \quad \sigma_y = 8.$$

어떻게

$$z = \frac{36 - 30}{\sqrt{6^2 + 8^2}} = 0.6.$$

우리는

$$\Phi(0) = 0.5; \quad \Phi(1) = 1 - \Phi(-1) \approx 1 - 0.16 = 0.84.$$

따라서 답은 0.5에서 0.84 사이의 0.6입니다. 0.5 + 0.6 * (0.84-0.5) = 약 0.70. (정규 분포의 정확하지만 지나치게 정확한 값은 0.73입니다.)

경로가 X 경로보다 더 오래 걸릴 확률은 약 70 %입니다.$Y$$X$ 입니다. 머리에서이 계산을하면 다음 언덕에서 벗어나게됩니다. :-)

(보통 히스토그램에 대한 정확한 확률은 72 %이지만 정상이 아니더라도 트립 시간의 차이에 대한 정규 근사의 범위와 유용성을 보여줍니다.)

내 본능적 접근 방식은 통계적으로 가장 정교하지는 않지만 더 재미있을 수 있습니다. :)

적절한 크기의 그래프 용지를 가져 와서 열을 시간 블록으로 나눕니다. 타는 시간에 따라 평균 시간이 5 분 또는 1 시간인지에 따라 다른 크기의 블록을 사용할 수 있습니다. 각 열이 2 분의 블록이라고 가정 해 봅시다. 루트 A의 색과 루트 B의 다른 색을 선택하고, 각 주행 후 해당 열에 점을 만드십시오. 해당 색상의 점이 이미 있으면 한 행 위로 이동하십시오. 다시 말해, 이것은 절대 숫자의 히스토그램 일 것입니다.

그런 다음 타고 갈 때마다 재미있는 히스토그램을 만들고 두 경로의 차이를 시각적으로 볼 수 있습니다.

자전거 통근자로서의 자신의 경험 (정량화를 통해 확인되지 않음)에 대한 나의 감각은 시간이 정상적으로 분포되지 않을 것이라는 것입니다. 나의 전형적인 시간은 가능한 가장 짧은 시간보다 훨씬 길지는 않지만, 매번 모든 빨간 불을 치는 것 같고, 더 높은 상한이 있습니다. 당신의 경험은 다를 수 있습니다. 그렇기 때문에 히스토그램 접근 방식이 더 좋을 것이므로 분포 형태를 직접 관찰 할 수 있습니다.

추신 : 나는이 포럼에서 의견을 말할 충분한 담당자가 없지만 whuber의 답변을 좋아합니다! 그는 샘플 분석을 통해 왜도에 대한 나의 우려를 매우 효과적으로 해결합니다. 그리고 나는 당신의 머리를 계산하여 다음 언덕에서 당신의 마음을 지키는 아이디어를 좋아합니다 :)

두 데이터 세트가 $X$ 과 $Y$. 각 모집단에서 한 사람을 무작위로 샘플링하여$x,y$. '1'을 기록하면$x > y$그렇지 않으면 0입니다. 이것을 여러 번 반복하십시오 (예 : 10000).이 지표의 평균은$P(X_{i} > Y_{j})$ 어디 $i,j$두 모집단에서 각각 무작위로 선택된 과목입니다. R에서 코드는 다음과 같습니다.

#X, Y are the two data sets
ii = rep(0,10000)
for(k in 1:10000)
{
   x1 = sample(X,1)
   y1 = sample(Y,1)
   ii[k] = (x1>y1) 
}

# this is an estimate of P(X>Y)
mean(ii)