표준화 된 변수의 공분산은 상관 관계입니까?

기본적인 질문이 있습니다. 두 개의 임의 변수가 있다고 가정 해 봅시다. $X$ 과 $Y$ . 평균을 빼고 표준 편차로 나눠서 표준화 할 수 있습니다. $X_{standardized} = \frac{(X - E(X))}{(SD(X))}$ .

상관 관계 $X$ 과 $Y$ , $Cor(X, Y)$ 의 표준화 된 버전의 공분산과 동일 $X$ 과 $Y$ ? 즉 $Cor(X, Y) = Cov(X_{standardized}, Y_{standardized})$ ?

correlation covariance standardization

— 제이크 피셔
소스

예.

${}{}{}{}{}$

— Dilip Sarwate

\begin{aligned} 코르 (엑스, 와이) & = \frac{이자형 ((엑스 - 이자형 (엑스)) \times (와이 - 이자형 (와이)))}{에스 디 (엑스) \times 에스 디 (와이)} \\ 코브 ({엑스}_{표준화}, {와이}_{표준화}) & = 이자형 [(\frac{(엑스 - 이자형 (엑스))}{(에스 디 (엑스))} - 0) \times (\frac{(와이 - 이자형 (와이))}{(에스 디 (와이))} - 0)] \\ = \frac{이자형 ((엑스 - 이자형 (엑스)) \times (와이 - 이자형 (와이)))}{에스 디 (엑스) \times 에스 디 (와이)} \end{aligned}

$\begin{align} \operatorname{corr}(X,Y)&=\frac{E\Big((X-E(X))\times(Y-E(Y))\Big)}{SD(X)\times SD(Y)}\\ \operatorname{Cov}(X_{\text{standardized}}, Y_{\text{standardized}}) &=E\Bigg[\Bigg(\frac{(X - E(X))}{(SD(X))}-0\Bigg)\times\Bigg(\frac{(Y - E(Y))}{(SD(Y))}-0\Bigg)\Bigg]\\ &= \frac{E\Big((X-E(X))\times(Y-E(Y))\Big)}{SD(X)\times SD(Y)} \end{align}$ 네!

— 헤만 루 파니
소스

뭐???? 첫 번째 방정식의 오른쪽은 랜덤 변수이고 왼쪽은 상수입니다.

— Dilip Sarwate

Errr No. 문제는 랜덤 변수 의 상관과 공분산에 관한 것이지만 답은 표본 에 관한 것입니다 상관과 공분산에 관한 것입니다. 예를 들어, 결과는 연속 랜덤 변수에 대한 유지에 관한 것이지만 기껏해야 값을 취하는 이산 랜덤 변수에만 적용되는 것

(X_{1}, Y_{1}), \dots, (X_{n}, Y_{n})

$(X_1,Y_1), \ldots, (X_n,Y_n)$ 같은 확률로

\frac{1}{n}

$\frac 1n$ .

— Dilip Sarwate

좀 빠지는. 아래 첨자가 필요하지 않습니다

i

$i$ 전혀 진행하지 않아서 삭제하고 프레젠테이션을 약간 개선했습니다. 변경 사항이 마음에 들지 않으면 언제든지 롤백하십시오.

— Dilip Sarwate

SD (X) 및 SD (Y)를 예상에서 벗어났습니다. 이 단계의 추론을 조금 더 설명하십시오.

— Erdogan CEVHER

@Erdogan 상수는 변경없이 Expected () 함수 외부에서 가져올 수 있습니다.

— Hemant Rupani