랜덤 변수가“격자”로 정의되는 직관적 인 의미는 무엇입니까?

확률 이론에서, 이 존재 하여 경우 음이 아닌 랜덤 변수 를 격자 라고합니다 .$X$∑ ∞ n = 0 P ( X = n d ) = $d \geq 0$$\sum_{n=0}^{\infty}P(X=nd) = 1$

이 정의를 격자라고하는 이유에 대한 기하학적 해석이 있습니까?

는 것을 의미 $X$ 별개이며, 그리고 분포에 일정한 간격의 일종이있다; 즉, 확률 질량은 유한 / 카운트 가능한 포인트 세트 {d, 2d, 3d, \ dots}에 집중되어 ${d, 2d, 3d, \dots}$있습니다.

모든 이산 분포가 격자가 아니라는 점에 유의하십시오. 예를 들어, $X$ 가 \ {1, e, \ pi, 5 \} 값을 취할 수있는 경우, 모든 값이 d의 배수로 표현 될 수있는 d$\{1, e, \pi, 5\}$ 가 없기 때문에 격자가 아닙니다 .$d$$d$

이 용어는 랜덤 변수를 기하 대칭을 연구하는 데 사용되는 그룹 이론의 개념과 연결합니다 . 따라서보다 일반적인 연결을보고 격자 랜덤 변수의 의미와 잠재적 인 응용을 밝힐 수 있습니다.

배경

수학에서 "lattice" 은 위상 그룹 의 개별 하위 그룹입니다 ( 일반적으로 유한 공류를 갖는 것으로 가정 ).$\mathcal{L}$$G$

• "Discrete"는 각 요소 주위 은 g 자체만 포함하는 개방 세트 O g ⊂ L 입니다 : O g ∪ L = { g } . L 을 G 의 "패턴 화 된"또는 "일반적인"배열로 생각하는 것이 공정 할 것입니다.$g\in\mathcal{L}$$\mathcal{O}_g\subset\mathcal{L}$$g$$\mathcal{O}_g\cup\mathcal{L}=\{g\}$$\mathcal{L}$$G$

• 그룹 는 " G 에서 L 주위의 점을 이동" 하여 L 에 작용하여 각각 의 궤도를 형성합니다 . 이 동작 의 기본 영역 은 각 궤도의 단일 지점으로 구성됩니다. G 에는 Borel 측정 가능 서브 세트 G 의 크기 또는 부피 를 측정하는 데 사용되는 측정 값 (Haar 측정 값)을 장착 할 수 있습니다 . 측정 가능한 기본 도메인을 찾을 수 있습니다. 그 부피는 L 의 공량 입니다 . 유한 할 때, 우리는 G 가이 기본 영역에 의해 타일링 된 것으로 생각 하고 L 의 요소 는 타일을 이동시키는 것으로 생각할 수 있습니다 .$G$$\mathcal{L}$$\mathcal{L}$$G$$G$$G$$\mathcal{L}$$G$$\mathcal{L}$

이 해마의 한 쌍 (한 쪽은 위, 다른 쪽은 거꾸로 된)은 유클리드 비행기에서 시각적으로 분명한 격자의 기본 영역이 될 수 있습니다. MC Escher, 해마 (11 번) .

A "격자"랜덤 변수 A의 격자 상에지지된다 ( R , N , + ) . $X$$(\mathbb{R}^n, {+})$ 이것은 모든 확률이 격자의 닫힘에 포함되어 있음을 의미합니다. 격자는 불연속이기 때문에 닫히므로 의 값은 격자에 거의 확실하게 있습니다 : Pr ( X ∈ L ) = 1 .$X$$\Pr(X\in\mathcal{L})=1$

신청

이 질문에 의해 암시 된 그룹은 일반적인 (유클리드) 토폴로지를 갖는 실수 의 부가 그룹입니다 . 부분 군으로, 격자 L 은 0을 포함해야합니다 . 몫 R / { 0 } 이 무한대의 부피 (이 1D 경우 "volume"= "length")를 가지기 때문에 이것만으로는 충분하지 않습니다 . 따라서 적어도 하나의 0이 아닌 원소 g ∈ L이 있습니다. 이 요소의 모든 권한도 하위 그룹에 있어야합니다. 연산이 더하기 때문에 g 의 n 번째 거듭 제곱 은 n $(\mathbb{R}, {+})$$\mathcal{L}$$0$$\mathbb{R}/\{0\}$$g\in\mathcal{L}$$n^\text{th}$$g$$ng$. 따라서 은 g의 모든 정수 배수를 포함합니다 (음수 포함).$\mathcal{L}$$g$

두 요소가있는 경우 서로 힘 없으며, 그것은 (정수론의 작은 비트를 사용하여)이 (1)의 모든 조합을보기 용이 N g + m H 에 대한 N , m ∈ Z 는 순서 쌍 ( m , n ) 과 일대일로 대응하며, (2) 이러한 조합은 R에 밀도가 있으며 , 이는 L 이 이산 적이 지 않음을 의미 합니다. 이것으로부터 L의 모든 원소 가 단일 수의 거듭 제곱 이라고 결론을 내릴 수 있습니다$h,g\in\mathcal{L}$$ng+mh$$n,m\in\mathbb{Z}$$(m,n)$$\mathbb{R}$$\mathcal{L}$$\mathcal{L}$ . $g$ 이것은 L 의생성기입니다.$\mathcal{L}$

(유사한 논증은 격자에 생성기 가 n 개 있어야 함을 나타 냅니다. Escher 수채화 용 생성기는 예를 들어, 2 단위의 하향 변환과 1 단위의 하향 변환과 1 단위의 오른쪽 이동과 같은 것일 수 있습니다. )$(\mathbb{R}^n, {+})$$n$

결과적으로, 실제 격자 격자 랜덤 변수 on ( R , + )에 해당하는 발전기 g ≠ 0 이어야합니다 .$X$$(\mathbb{R}, {+})$$g\ne 0$

$$\sum_{n=0}^\infty \Pr(X=ng) \le \sum_{n=-\infty}^\infty \Pr(X=ng) = \Pr(X\in\mathcal{L}) = 1.$$

따라서 문제의 정의는 음 이 아닌 격자 변수 의 정의로 이해 될 수 있습니다 . 또한 이라고 명시하고 싶을 수도 있습니다. 그렇지 않으면 무한 공류를 갖는 하위 그룹 { 0 } 에서 X 가 지원 되므로 격자는 아닙니다.$\Pr(X=0) \lt 1$$X$$\{0\}$

일반화

양의 실수 는 곱셈 그룹을 형성합니다. 이 그룹의 격자는 L = { g $(\mathbb{R}^{+}, {\times})$$\mathcal{L} = \{g^n\,|\,n\in\mathbb{Z}\}$ for some $g \gt 0$. (The covolume of this lattice is $|\log(g)|$.) Accordingly, any random variable $Y$ for which

$$\sum_{n=-\infty}^\infty \Pr(Y=g^n) = 1$$

could be considered a lattice variable on this group. Evidently, $\log(Y)$ would be a lattice variable on $(\mathbb{R}, {+})$.